算法实践第二次作业

一、找第 k 小的数的分治算法描述（伪代码 + 自然语言）
伪代码
plaintext
function findKthSmallest(arr, low, high, k):
if low == high: # 子数组仅1个元素，直接返回
return arr[low]
# 步骤1：选基准元素（此处选数组最后一个元素），划分数组
pivotIndex = partition(arr, low, high)
# 步骤2：计算基准元素在有序数组中的最终位置（从low开始计数）
rank = pivotIndex - low + 1
# 步骤3：分治递归
if rank == k: # 基准元素就是第k小，直接返回
return arr[pivotIndex]
elif rank > k: # 第k小在基准左侧子数组，递归左半部分
return findKthSmallest(arr, low, pivotIndex - 1, k)
else: # 第k小在基准右侧子数组，递归右半部分（k更新为k - rank）
return findKthSmallest(arr, pivotIndex + 1, high, k - rank)

辅助函数：划分数组（按基准元素分，左小右大）

function partition(arr, low, high):
pivot = arr[high] # 基准元素
i = low - 1 # 小于基准区域的右边界
for j from low to high - 1:
if arr[j] <= pivot:
i += 1
swap(arr[i], arr[j]) # 扩大小于基准的区域
swap(arr[i + 1], arr[high]) # 基准元素放到最终位置
return i + 1 # 返回基准元素索引
自然语言描述
终止条件：如果当前处理的子数组只有 1 个元素，这个元素就是第 k 小的数，直接返回。
划分步骤：选数组中一个元素作为基准（如最后一个元素），通过划分操作将数组分成两部分 —— 左半部分元素都小于等于基准，右半部分都大于基准，基准元素落在最终有序数组的确定位置。
确定递归方向：计算基准元素在当前子数组中的 “排名”（即它是子数组中第几个最小的数）。
若排名等于 k，基准元素就是目标答案。
若排名大于 k，目标在基准左侧的子数组，递归处理左半部分。
若排名小于 k，目标在基准右侧的子数组，递归处理右半部分（此时 k 需减去左侧子数组的长度，即基准的排名）。
二、算法时间复杂度分析
核心前提
算法的时间复杂度主要由 “划分步骤” 和 “递归深度” 决定，划分步骤的时间复杂度为 O (n)（n 为当前子数组长度）。
最好时间复杂度：O (n)
理想情况：每次划分后，基准元素恰好是当前子数组的 “中间位置” 元素（即划分后左右子数组长度接近相等）。
递归深度：log₂n（每次子数组长度减半），每一层的总划分时间为 O (n)（所有子数组长度之和为原数组长度 n）。
总时间：O (n) + O (n) + ... + O (n)（共 log₂n 层）= O (n log n)？不，实际是 O (n)—— 因为每一层的总操作量是 O (n)，而 log₂n 层的总和为 n + n/2 + n/4 + ... + 1 = 2n - 1 = O (n)（等比数列求和）。
最坏时间复杂度：O (n²)
极端情况：每次划分后，基准元素是当前子数组的 “最值”（如数组已升序，每次选最后一个元素为基准，划分后左子数组长度为 n-1，右子数组为空）。
递归深度：n（每次子数组长度仅减少 1），第一层划分时间 O (n)，第二层 O (n-1)，...，最后一层 O (1)。
总时间：O (n) + O (n-1) + ... + O (1) = O (n²)。
三、对分治法的体会和思考

1. 分治法的核心逻辑
   分治法的本质是 “化繁为简”，将一个规模为 n 的复杂问题，分解为 k 个规模更小的子问题（子问题与原问题结构相同），分别求解子问题后，合并子问题的解得到原问题的解。它的核心是 “分解 - 求解 - 合并” 三步，但部分场景（如找第 k 小的数）可省略 “合并” 步骤，直接通过子问题的解得到原问题答案。
2. 分治法的优势与适用场景
   优势：能将高复杂度问题拆解为低复杂度子问题，充分利用递归或迭代的方式降低编码难度，同时在理想划分下能大幅提升效率（如排序算法中的快速排序、归并排序，均基于分治法实现高效排序）。
   适用场景：问题可拆分为结构相同的子问题、子问题相互独立（无依赖关系）、子问题的解可合并为原问题的解。例如数组查找、排序、大数乘法、矩阵乘法等问题。
3. 分治法的关键与局限
   关键：划分策略直接决定算法效率。如找第 k 小的数中，“基准元素的选择” 是核心 —— 若能每次选到中间元素（如随机选基准、三数取中法），可将最坏时间复杂度优化为 O (n)（概率意义上）；若划分失衡，会导致效率骤降。
   局限：递归实现时会产生额外的栈空间开销，若划分不当（如极端划分），时间复杂度会退化到平方级；部分问题的 “合并” 步骤开销较大（如归并排序的合并步骤需 O (n) 时间）。
4. 学习体会
   分治法教会我们 “拆分问题的思维”—— 面对复杂问题时，不必急于求成解决整体，而是先思考如何拆解为可解决的小问题。同时，它也体现了 “平衡” 的重要性：划分的平衡性直接影响算法效率，这启示我们在设计分治算法时，需重点关注划分策略的合理性。此外，分治法与递归紧密结合，但递归并非唯一实现方式（可通过迭代优化栈开销），需根据实际场景选择合适的实现方式。