第二章算法作业

1.请用自然语言或伪代码描述找第k小的数的分治算法：
代码：

include

// 划分函数，根据a[left]对a[left..right]进行划分
int partition(int a[], int left, int right) {
int pivot = a[left]; // 选择第一个元素作为基准
int i = left, j = right;

while (i < j) {// 从右向左找第一个小于pivot的元素while (i < j && a[j] >= pivot) {j--;}if (i < j) {a[i] = a[j];i++;}// 从左向右找第一个大于pivot的元素while (i < j && a[i] <= pivot) {i++;}if (i < j) {a[j] = a[i];j--;}
}a[i] = pivot;  // 基准元素归位
return i;      // 返回基准元素的位置

}

// 查找第k小元素的函数
int find(int a[], int left, int right, int k) {
if (left == right) {
return a[left];
}

int pos = partition(a, left, right);// 计算当前基准元素是第几小的元素（在[left,right]范围内的排名）
int currentK = pos - left + 1;if (currentK == k) {// 正好找到第k小的元素return a[pos];
} else if (currentK > k) {// 第k小的元素在左半部分return find(a, left, pos - 1, k);
} else {// 第k小的元素在右半部分return find(a, pos + 1, right, k - currentK);
}

}

int main() {
int n, k;
std::cin >> n >> k;

int* a = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {std::cin >> a[i];
}int result = find(a, 0, n - 1, k);
std::cout << result << std::endl;delete[] a;
return 0;

}
自然语言解释：
这段代码的函数find用来找left和right之间的第k小的数，所以传入参数为数组，k，left和right。在find函数中首先规定了边界条件，即当猜的数所在的数组只有一个元素的时候，返回这个元素。如果不符合边界条件的话，通过partition函数将left位置的元素作为基准元素，找到数组中比基准元素大的元素和数组中比基准元素小的元素，大的放在右边，小的放在左边，然后partition函数返回一个基准元素的下标，再通过简单的计算得到这个下标是left和right中第几小的元素，并与k进行对比，如果和k相等，说明找到了第k小的元素，返回数组中的对应值即可，如果比k小，不满足条件，说明第k小的元素在基准元素的右半部分，然后递归调用函数find在基准元素+1位置开始到right再进行一次上述过程，k也由k变成k-current，说明整个数组中第k小的元素是基准元素的右半部分中的第k-current小的元素；如果比k大，说明第k小的元素在基准元素的左半部分，故递归调用find函数在left和基准元素前一个元素间寻找第k小的元素。

2.分析该算法的最好时间复杂度和最坏时间复杂度：
这个算法的最好情况应该是第一个元素就是我们要找的第k小的元素，但是我们还要再partition函数中把比基准元素小的元素放在左边，把比基准元素大的元素放在基准元素的右边，总共有n个元素。所以复杂度应该是O（n）
最坏情况就是每次我们选择的基准元素的情况都很极端，都是最小的或者是最大的，这样的话我们每次都要进行n次对数组（数组总共有n个元素）位置的重整，所有最坏情况的复杂度是O（n*n）

3.结合本章的学习，谈谈你对分治法的体会和思考

分治法本质上是一种降低问题复杂程度的方法，当你面对一个看起来无从下手的问题的时候，可以考虑将这个问题先分解为几个更加简单的子问题，先解决这些更为简单的子问题，在将子问题链接起来就可以获得原问题的答案，而子问题一直分解下去就能分解到你能解决的情况。所以我们要先解决子问题，如果连子问题都解决不了，那就相当于递归没有边界条件，就无法利用递归的想法来解决这个问题。