命题：对于连通图 \(G=(V,E)\)，记其割空间为 \(A\)，环空间为 \(B\)，边空间为 \(E\)，则 \(A\oplus B=E\) 当且仅当图 \(G\) 的生成树个数为奇数。
证明：
由于 \(\dim A+\dim B=\dim E\)，所以 \(A\oplus B=E\) 当且仅当 \(A\) 与 \(B\) 不存在共同非 \(0\) 元。
记图的关联矩阵为 \(M\)，则 \(x\in A\) 当且仅当 \(\exists y,x=M^\top y\)，\(x\in B\) 当且仅当 \(Mx=0\)，因此上述条件等价于存在 \(y\) 使得 \(M^\top y\ne 0,MM^\top y=0\)。
此即 \(\operatorname*{rank}(M^\top)=\operatorname*{rank}(MM^\top)\)，而该式的左侧等于 \(|V|-1\)。
因为 \(MM^\top=D+A=L\)，所以原命题左侧等同于 \(\operatorname*{rank}(L)=|V|-1\)。
图 \(G\) 的生成树个数为奇数相当于 \(L\) 去掉第 \(n\) 行以及第 \(n\) 列后的矩阵满秩，由于 \(L\) 的行和和列和均为 \(0\)，因此 \(L\) 的秩在去掉第 \(n\) 行以及第 \(n\) 列后保持不变，所以右侧等同于 \(\operatorname*{rank}(L)=|V|-1\)。
故原命题证毕。
