背包问题千千结：遍历顺序、内外循环，我们该如何思考？

背包问题中“遍历方向”与“内外循环”对结果的影响总结

核心映射关系表（简洁版）

问题类型	内外循环顺序	背包容量遍历方向	结果特征（核心影响）	典型题目
01背包（物品不可重复）	物品外循环	逆序（从大到小）	每个物品仅用1次，不考虑选择顺序	分割等和子集、目标和
完全背包-组合	物品外循环	正序（从小到大）	物品可重复用，不考虑顺序（组合唯一）	零钱兑换II（凑数方法数）
完全背包-排列	背包外循环	正序（从小到大）	物品可重复用，考虑顺序（排列不同）	组合总和IV（凑数方法数）

结合案例详解

一、01背包（物品不可重复使用）

核心逻辑：每个物品只能选1次，需通过“物品外循环+背包逆序遍历”避免重复使用。

典型题目：分割等和子集

判断能否将数组分成两个和相等的子集（本质是“从数组中选子集，和为总和的一半”）。

def canPartition(nums):total = sum(nums)if total % 2 != 0:return Falsetarget = total // 2# dp[i]：能否凑出和为i的子集dp = [False] * (target + 1)dp[0] = True  # 空子集凑0# 物品外循环：每个物品仅处理1次for num in nums:# 背包逆序遍历：避免同一物品被重复选for j in range(target, num - 1, -1):dp[j] = dp[j] or dp[j - num]  # 不选当前num 或 选当前num（用j-num的状态）return dp[target]

关键解释：

• 若改为“正序遍历背包”：会导致同一物品被多次选择（如num=2，j=2时更新dp[2]，j=4时会再次用dp[2]的新值，相当于选了两次2），违背01背包“不可重复”的约束。
• 若改为“背包外循环”：物品会被重复处理（如先遍历j=4，再处理num=2时，可能多次用到num=2），同样导致重复选择。

二、完全背包-组合（物品可重复，不考虑顺序）

核心逻辑：物品可重复使用，通过“物品外循环+背包正序遍历”实现重复使用，且保证组合顺序不影响结果（如[1,2]和[2,1]视为同一种组合）。

典型题目：零钱兑换II

计算用给定硬币凑成总金额的组合数（顺序不同不算新方法）。

def change(amount, coins):# dp[i]：凑成金额i的组合数dp = [0] * (amount + 1)dp[0] = 1  # 空组合凑0# 物品外循环：保证每个硬币按顺序处理，避免重复计数（如先1后2，不会出现先2后1）for coin in coins:# 背包正序遍历：允许同一硬币被多次使用（如coin=2，j=2时更新后，j=4时可再用一次2）for j in range(coin, amount + 1):dp[j] += dp[j - coin]  # 累加“用当前coin凑j”的方法数（基于j-coin的组合）return dp[amount]

关键解释：

• 若改为“背包逆序遍历”：会退化为01背包（硬币只能用1次），无法重复使用，导致组合数偏少。
• 若改为“背包外循环”：会变成“排列计数”（如[1,2]和[2,1]会被算成两种方法），结果错误。

三、完全背包-排列（物品可重复，考虑顺序）

核心逻辑：物品可重复使用，通过“背包外循环+背包正序遍历”实现重复使用，且保证顺序不同视为不同结果（如[1,2]和[2,1]视为两种排列）。

典型题目：组合总和IV

计算用给定数字凑成目标的排列数（顺序不同算新方法）。

def combinationSum4(nums, target):# dp[i]：凑成目标i的排列数dp = [0] * (target + 1)dp[0] = 1  # 空排列凑0# 背包外循环：先固定目标，再遍历所有数字，保证不同顺序被计数（如先1后2和先2后1都会被算）for j in range(1, target + 1):# 物品内循环：每个目标下都尝试所有数字for num in nums:if j >= num:dp[j] += dp[j - num]  # 累加“用当前num作为最后一个数字”的排列数return dp[target]

关键解释：

• 若改为“物品外循环”：会变成“组合计数”（如[1,2]和[2,1]只算1次），结果错误。
• 若改为“背包逆序遍历”：无法重复使用数字（如num=1，j=2时无法用j=1的状态，导致无法凑出1+1），结果偏少。

总结：核心判断依据

1. 是否允许重复使用物品：看背包遍历方向——逆序（01背包，不可重复），正序（完全背包，可重复）。
2. 是否考虑顺序（组合/排列）：看内外循环顺序——物品外循环（组合，不考虑顺序），背包外循环（排列，考虑顺序）。

记住这两个维度，就能在不同背包问题中快速确定正确的循环逻辑~