LuoGu/CodeForces.
没有简述题意。
试图平凡地设\(dp_{u,i}\)表示以\(u\)为根子树内划分了\(i\)个集合，然而由于要维护MEX在根处难以转移。我们可能需要根所在路径的信息。重设状态：\(dp_{u,i}\)表示以\(u\)为根的子树内，钦定\(u\)所在的向外延伸的路径中\(i\)未出现，除这条路径外的MEX和。我们可以认为这条路径的MEX就是\(i\)，因为如果不是，MEX一定比\(i\)小，这个状态就不优秀，优秀的也一定会被统计到。
下面讨论转移。
- \(u\)为叶子。\[dp_{u,i}=\begin{cases} 0 & i\not=a_u\\ +\infty & i=a_u \end{cases} \]
- \(u\)有一个儿子\(v\)。\[dp_{u,i}=\begin{cases} \min dp_{v,i},\min_{j\not= a_u}dp_{v,j}+j & i\not=a_u\\ +\infty & i=a_u \end{cases} \]意思是接上\(v\)的路径，或让\(v\)的路径在\(u\)结束，意思累计贡献，然后\(u\)再开一条。
- \(u\)有两个儿子\(x\)，\(y\)。
记\(k_1=\min_{i\not=a_u}(dp_{y,i}+i)\)，\(k_2=\min_{i\not=a_u}(dp_{y,i}+i)\)
记\(k=\min_{i\not=a_u} dp_{x,i}+dp_{y,i}+i,k_1+k_2\)。\[ dp_{u,i}=\begin{cases} \min\{dp_{x,i}+k_2,dp_{y,i}+k_1,k\} & i\not=a_u\\ +\infty & i=a_u \end{cases} \]意思是接上\(x\)的路径，或接上\(y\)的路径，或合并\(x\)，\(y\)的路径然后新开，或让\(x\)，\(y\)的都结束然后新开。
由于MEX不会超过\(n+1\)，复杂度为\(O(n^2)\)，无法接受。事实上，可以证明的是，本题中路径MEX的范围不超过\(O(\cfrac{n}{\ln n})\)，并且当\(n=25000\)时，只需枚举到\(3863\)，这样复杂度到了\(9e7\)级别，可以跑过。
简单证明一下。
考虑一条最优集合中的路径\(a,b,c,d,e...\)，对于其中的某个数字\(x\)，以此将路径分割成形如：
对于未出现\(x\)的段，其MEX不超过\(x\)，对于出现\(x\)的段，其MEX不超过\(4\)（若\(x\)大于等于\(4\)则MEX不超过\(3\)）。设整段路径MEX为\(t\)，权值\(i\)出现次数为\(c_i\)，则有：
由此，\(i\)的出现次数\(c_i\)为\(O(\cfrac{t}{i})\)级别， \(n=\sum c_i=t\ln t\)，故\(t\)为\(O(\cfrac{n}{\ln n})\)级别。
同时，我们还有\(n=\sum c_i\ge\sum_{1\le i\le 3}\lceil\cfrac{t}{i+4}\rceil+\sum_{i\ge 4}\lceil\cfrac{t}{i+3}\rceil\)，当\(n=25000\)时，二分出\(t\)不超过\(3863\)。
Code.
