Top Tree大学习

前言

\(Top Tree\) 用来解决 路径查询，动态 \(dp\) 等问题。
信息储存在 簇 中。

簇（\(Cluster\)）

树上一个边联通块，可以收缩成一条边，我们成这样的联通子图为 簇。
簇上的某些点与其它簇相接，我们称其为簇的 端点。
被完全包含在簇中的点，我们称之为 内点。
边联通块的边称为 内边。

1. 簇只维护内点和内边的信息。
2. 簇只有两个端点，两个端点间路径称为 簇路径。

对于一棵树，每条边都独立为一个簇，我们称之为 基簇。

树收缩

树收缩是 \(Top Tree\) 的核心操作。

\(compress(v)\) 是选择一个度数为 \(2\) 的点 \(v\)，将 \(v\)的两条边合并。
\(rake(v)\) 是选择一个度数为 \(1\) 的点 \(v\)，将 \(v\) 的边与另一条邻边合并。

最终我们将整棵树收缩为一个簇，我们称之为 根簇。

\(Top Tree\)

我们用 \(compress,rake\) 两种操作形成根簇的过程建成一棵 \(Leafy Tree\)。
并标记是由哪种操作合并的，以便于对应上传信息。
现在问题在如何高效维护信息，即保证树的高度。

重量平衡静态 \(Top Tree\)

对原树进行重链剖分，将轻儿子 \(rake\) 到重链上，对于剩下的重链 \(compress\) 起来。
我们采用分治 \(rake\) 和 \(compress\) 来平衡深度。
类似全局平衡二叉树的，每次选择带权重心当根递归建树。

\(rake,compress\) 操作至少会有 \(O(\log n)\) 的深度，而非必须的上传会使大小翻倍同样为 \(O(\log n)\)，故最多应为 \(3 \log n\)，但实际应为 \(2 \log n\)，但我不会分析。

参考实现：

IL void pu(int p){cl[p]=(ty[p]?rake:compress)(cl[ls[p]],cl[rs[p]]);}
IL int Link(int x,int y,int k){int p=++cntn;fa[ls[p]=x]=fa[rs[p]=y]=p,ty[p]=k;return pu(p),p;}
int Dac(vector<int> &a,int l,int r,int op){if(l==r)return a[l];int mid=r-1,now=0,sum=0;rpt(i,l,r)sum+=cl[a[i]].siz;rpt(i,l,r-1){now+=cl[a[i]].siz;if(now*2>sum){mid=i;break;}}return Link(Dac(a,l,mid,op),Dac(a,mid+1,r,op),op);
}
void dfs(int u,int pre){siz[u]=1,son[u]=0;for(auto v:e[u])if(v!=pre){dfs(v,u),siz[u]+=siz[v],id[v]=nlf(a[v]);if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;}
}
int build(int u,int pre){vector<int> H;if(id[u])H.pb(id[u]);for(;son[u];pre=u,u=son[u]){vector<int> L;for(auto v:e[u])if(v!=pre&&v!=son[u])L.pb(build(v,u));if(L.empty())H.pb(id[son[u]]);else H.pb(Link(id[son[u]],Dac(L,0,L.size()-1,1),1));}return Dac(H,0,H.size()-1,0);
}

例题：

最大带权独立集
对于信息的维护，我们需要考虑两种合并的转移方式。
如维护两个端点的距离，我们有 \(dis{rake(u,v)}=dis_u,dis_{empress(u,v)}=dis_u + dis_v\)

参考实现：

struct info{int f[2][2];info(){rpt(x,0,1)rpt(y,0,1)f[x][y]=-inf;}info(const int &w){f[0][0]=0,f[0][1]=w,f[1][0]=0,f[1][1]=-inf;}IL int gmx()const{int mx=0;rpt(x,0,1)rpt(y,0,1)mx=max(mx,f[x][y]);return mx;}
};
struct clst{info v;int siz;clst():v(info()),siz(0){}clst(const int &w):v(info(w)),siz(1){}
};
IL clst rake(const clst &f,const clst &g){clst h; h.siz=f.siz+g.siz;rpt(x,0,1)rpt(y,0,1)rpt(z,0,1)if(f.v.f[x][y]!=-inf&&g.v.f[x][z]!=-inf)mxup(h.v.f[x][y],f.v.f[x][y]+g.v.f[x][z]);return h;
}
IL clst compress(const clst &f,const clst &g){clst h; h.siz=f.siz+g.siz;rpt(x,0,1)rpt(y,0,1)rpt(z,0,1)if(f.v.f[x][z]!=-inf&&g.v.f[z][y]!=-inf)mxup(h.v.f[x][y],f.v.f[x][z]+g.v.f[z][y]);return h;
}