25.10.27联考题解

news/2025/10/27 17:10:01/文章来源:https://www.cnblogs.com/Lyrella/p/19169628

CF2110D

求最小值的问题可以考虑转化成二分答案然后判断合法性。于是先二分答案，然后发现判断合法性本质就是判断连通性，因为是 DAG 于是考虑拓扑排序维护到一个点的合法最大值即可。

B

考虑 \(k=0\) 怎么做？我们直接按 \(y\) 排序然后扫描线即可。现在考虑 \(k\neq0\) 怎么做？思考前面做法。本质就是我们给这 \(\mathcal O(n)\) 个点分了层然后一段前缀减一个定值加上一个定制减一段后缀。所以我们还是要分层。因为 \(k\) 相同所以我们可以直接分层，将这若干直线 \(y=kx+b\) 按照 \(b\) 排序，然后就和 \(k=0\) 的情况一样了。

C

首先考虑 dp，我们设 \(f_{i,j}\) 表示填了前 \(i\) 个，最后填了 \(j\) 的合法方案数，\(s_i=\sum_jf_{i,j}\)。转移就是 \(f_{i,j}=s_{i-1}\)，考虑如果 \((i-k,i]\) 可以染成同一种颜色我们还要减去一个 \(s_{i-k}-f_{i-k,j}\)。转移意义考虑容斥掉不合法的东西，但是要求 \(i-k\) 这个位置不能填 \(j\) 不然就又重了。这个东西时间复杂度 \(\mathcal O(nk)\)。

考虑继续优化。因为复杂度的瓶颈在维护 \(f\) 于是我们希望不维护 \(f\) 而是直接维护 \(s\)。我们考虑一个 \(f_{i,j}\) 的取值情况。假设现在有 \(f_{i,j}=s_{i-1}-s_{i-k}+f_{i-k,j}\)，我们考虑继续拆掉 \(f\)，于是有 \(f_{i,j}=s_{i-1}-s_{i-k}+s_{i-k-1}-s_{i-2k}+f_{i-2k,j}\)。我们一直这样写下去直到出现 \(f_q=s_{q-1}\) 的时候结束。于是 \(f\) 就被用 \(s\) 表示出来了！

接着我们令 \(S_i=\sum\limits_{p} s_{i-pk}\)，于是转移式被进一步化简：\(f_{i,j}=S_{i-1}-S_{i-tk-1}-(S_{i-k}-S_{i-tk})\)。所以要想转移 \(f_{i,j}\) 我们需要知道每个 \(f_{i,j}\) 对应的 \(t\) 是多少。

这里有一个观察：对于一个 \(i\) 的不同 \(j\)，\(t\) 的取值最多只有两种。证明可以考虑归纳法。发现性质后直接维护两种 \(t\) 的值以及其对应的 \(j\) 的个数即可。