动态点分树

更新日志

2025/10/27：开工。

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概念

首先你应当会点分树。

动态点分树可以支持每次加一个叶子结点并动态维护点分树结构平衡的数据结构。

思路

利用替罪羊树的思想，考虑 \(\alpha\) 重构。也就是说，每加入一个节点后，枚举其所有祖先，找到深度最低的，满足子树大小超过了父节点子树大小 \(\alpha\) 倍的子树（如果有），并重构整棵子树。重构的话直接对整棵子树重新跑一遍点分治即可。

同替罪羊树思想，\(\alpha\) 大致取 \(0.8\) 可以使总重构点数为 \(n\log n\) 级别，原理我不太懂，毕竟我不会替罪羊树。qwq

有一些可能有用的实现细节，就是对每个点开两个数组顺次存下他的祖先与到其的距离，重构时对子树内每个点的这个动态数组同时弹出，直到弹出要重构的子树根节点为止，那么剩下的就是不用重构的祖先。点分治时把当前分治块内所有点推入当前分治中心及距离即可。

例题

紫荆花之恋

后面补一份完整题解。这里就先只放代码了。

代码

const int N=1e5+5,V=1e9,B=320;
const flt A=0.8;int n;
struct sq{vec<ll> big,sml,t;inline void ins(ll x){sml.pub(x);if(sml.size()>B){int a=0,b=0;t.clear();sort(sml.begin(),sml.end());while(a<big.size()&&b<sml.size())t.pub(big[a]<sml[b]?big[a++]:sml[b++]);while(a<big.size())t.pub(big[a++]);while(b<sml.size())t.pub(sml[b++]);sml.clear();big=t;}}inline ll query(ll v){int res=upper_bound(big.begin(),big.end(),v)-big.begin();for(auto i:sml)if(i<=v)++res;return res;}inline void clear(){big.clear(),sml.clear();}
}dat[N],daf[N];int Fa[N];
vec<pil> g[N];
ll r[N];
vec<int> son[N],grd[N],grl[N];bool don[N];int siz,sz[N];
void gsiz(int x,int f){sz[x]=1;for(auto e:g[x]){int y=e.fir;if(!don[y]&&y!=f)gsiz(y,x),sz[x]+=sz[y];}
}
int rot,mx[N];
void grot(int x,int f){mx[x]=siz-sz[x];for(auto e:g[x]){int y=e.fir;if(!don[y]&&y!=f)grot(y,x),chmax(mx[x],sz[y]);}if(mx[x]<mx[rot])rot=x;
}
void dfs(int x,int f,int z,int dp){dat[z].ins(dp-r[x]);if(Fa[z])daf[z].ins(grl[x].back()-r[x]);grd[x].pub(z),grl[x].pub(dp);son[z].pub(x);for(auto e:g[x]){int y=e.fir;if(!don[y]&&y!=f)dfs(y,x,z,dp+e.sec);}
}
void calc(int x,int fa){gsiz(x,x);siz=sz[x];mx[rot=0]=inf;grot(x,x);x=rot;Fa[x]=fa;for(auto e:g[x]){int y=e.fir;if(!don[y])dfs(y,x,x,e.sec);}dat[x].ins(-r[x]);if(fa)daf[x].ins(grl[x].back()-r[x]);don[x]=1;for(auto e:g[x]){int y=e.fir;if(!don[y])calc(y,x);}
}inline void Main(){int T;cin>>T>>n;ll ans=0;rep(i,1,n){int a,c;cin>>a>>c>>r[i];a^=ans%V;if(!a){dat[1].ins(-r[i]);}else{g[a].pub({i,c}),g[i].pub({a,c});Fa[i]=a;grd[i]=grd[a],grl[i]=grl[a];grd[i].pub(a),grl[i].pub(0);for(auto &j:grl[i])j+=c;repl(j,0,grd[i].size()){int x=grd[i][j];ans+=dat[x].query(r[i]-grl[i][j]);if(j)ans-=daf[x].query(r[i]-grl[i][j-1]);son[x].pub(i);dat[x].ins(grl[i][j]-r[i]);if(j)daf[x].ins(grl[i][j-1]-r[i]);}dat[i].ins(-r[i]);daf[i].ins(c-r[i]);repl(j,1,grd[i].size())if(son[grd[i][j-1]].size()*A<son[grd[i][j]].size()){int x=grd[i][j-1],f=Fa[x];don[f]=1;for(auto y:son[x]){while(1){int t=grd[y].back();grd[y].pob(),grl[y].pob();if(t==x)break;}son[y].clear();don[y]=0;dat[y].clear(),daf[y].clear();}son[x].clear();don[x]=0;dat[x].clear(),daf[x].clear();calc(x,f);break;}}put(ans);}
}