Correlation inequality小记

定义\(n\)元函数\(f\)单调递增：如果对于所有 \(x,y\), 如果\(x_i\leq y_i\)对于\(i=1...n\)成立，那么\(f(x)\leq f(y)\)。
如果\(f,g\)单调递增，那么\(E(fg)\geq E(f)E(g)\)（\(f,g\)的定义域相同）
证明：考虑归纳法对于\(n=1\)的情况，假设\(x,y\)相互独立，\(2E(fg)-2E(f)E(g)=E((f(x)-f(y))(g(x)-g(y)))\geq 0\)。得证。
这是因为可以分类讨论\(x\leq y,x>y\)的情况，然后使用单调性证明。
特别的，Chebyshev不等式（注意这和概率论中Markov不等式的推论Chebyshev不等式不是同一个东西）是\(n=1\)的特殊情况，可以在概率空间内让\(x=a_i,y=b_i\)的概率等于\(1\)除\(a\)的大小来证明。
当\(n\geq 2\)，假设\(f\)是离散的（如果\(f\)是连续的类似），令\(h=fg\)
设概率空间的\(pmf\)是\(d\)，\(c_{x_1=a}(x_2,x_3...x_n)\)为\(x_1=a\)的边缘分布函数。
定义\(f_1(y_1)=E(f|x_1=y_1)=\sum_{x_2,x_3,...,x_n}f(y_1,x_2,x_3...x_n)c_{y_1}(x_2,x_3...x_n)\)
\(g_1(y_1)=E(g|x_1=y_1)=\sum_{x_2,x_3,...,x_n}g(y_1,x_2,x_3...x_n)c_{y_1}(x_2,x_3...x_n)\)
\(h_1(y_1)=E(h|x_1=y_1)=\sum_{x_2,x_3,...,x_n}h(y_1,x_2,x_3...x_n)c_{y_1}(x_2,x_3...x_n)\)
由于\(f,g,h\)单调递增，\(f_1,g_1,h_1\)也单调递增。
根据归纳假设\(h_1(y_1)\geq g_1(y_1)f_1(y_1)\)
所以\(E(fg)=E(h)=E(h_1)\)（根据全期望公式）
\(\geq E(f_1)E(g_1)\)（使用\(n=1\)的结论）
\(=E(f)E(g)\)（根据全期望公式），得证。