如题，假定整数域线段树初始区间 \([1,n]\)，每次划分长度不为 \(1\) 的区间 \([l,r]\) 会找到 \(mid=\lfloor\frac{l+r}{2}\rfloor\)，划分成 \([l,mid],[mid+1,r]\)。求证划分任意合法区间 \([L,R]\) 最多使用 \(O(\log n)\) 步，且最多划分成 \(O(\log n)\) 个区间。
考虑划分递归过程，如果单侧递归即 \(R\le mid\lor L\geq mid+1\)，由于线段树递归不超过 \(O(\log n)\) 层，这样的步数也是 \(O(\log n)\) 的，且对区间划分数量没有任何贡献。
否则双侧递归，即 \(L\le mid\land R\geq mid+1\)，这时候就分别转化为了两边区间的一段后缀/前缀划分问题。考虑解决前缀，可以近似地看作 \([1,+\infty)\) 上的线段树划分，根据二进制分组划分出的区间是 \(O(\log n)\) 的，且每有一次这样的递归就多划定一个区间，所以步数也是 \(O(\log n)\) 的。
综上，证毕。
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