最小割树 Gomory-Hu Tree
无向连通图抽象出的一棵树，满足任意两点间的距离是他们的最小割。一共需要跑 \(n\) 轮最小割，总复杂度 \(\mathcal O(N^3M)\) ，预处理最小割树上任意两点的距离 \(\mathcal O(N^2)\) 。
过程：分治 \(n\) 轮，每一轮在图上随机选点，跑一轮最小割后连接树边；这一网络的残留网络会将剩余的点分为两组，根据分组分治。
void reset() { // struct需要额外封装退流for (int i = 0; i < ver.size(); i += 2) {ver[i].w += ver[i ^ 1].w;ver[i ^ 1].w = 0;}
}signed main() { // Gomory-Hu Treeint n, m;cin >> n >> m;Flow<int> flow(n);for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;flow.add(u, v, w);flow.add(v, u, w);}vector<int> vis(n + 1), fa(n + 1);vector ans(n + 1, vector<int>(n + 1, 1E9)); // N^2 枚举出全部答案vector<vector<pair<int, int>>> adj(n + 1);for (int i = 1; i <= n; i++) { // 分治 n 轮int s = 0; // 本质是在树上随机选点、跑最小割后连边for (; s <= n; s++) {if (fa[s] != s) break;}int t = fa[s];int ans = flow.work(s, t); // 残留网络将点集分为两组，分治adj[s].push_back({t, ans});adj[t].push_back({s, ans});vis.assign(n + 1, 0);auto dfs = [&](auto dfs, int u) -> void {vis[u] = 1;for (auto it : flow.h[u]) {auto [v, c] = flow.ver[it];if (c && !vis[v]) {dfs(dfs, v);}}};dfs(dfs, s);for (int j = 0; j <= n; j++) {if (vis[j] && fa[j] == t) {fa[j] = s;}}}for (int i = 0; i <= n; i++) {auto dfs = [&](auto dfs, int u, int fa, int c) -> void {ans[i][u] = c;for (auto [v, w] : adj[u]) {if (v == fa) continue;dfs(dfs, v, u, min(c, w));}};dfs(dfs, i, -1, 1E9);}int q;cin >> q;while (q--) {int u, v;cin >> u >> v;cout << ans[u][v] << "\n"; // 预处理答数组}
}
)
