最短路径树（SPT问题）
定义：在一张无向带权联通图中，有这样一棵生成树：满足从根节点到任意点的路径都为原图中根到任意点的最短路径。
性质：记根节点 \(Root\) 到某一结点 \(x\) 的最短距离 \(dis_{Root,x}\) ，在 \(SPT\) 上这两点之间的距离为 \(len_{Root,x}\) ——则两者长度相等。
该算法与最小生成树无关，基于最短路 \(\tt Djikstra\) 算法完成（但多了个等于号）。下方代码实现的功能为：读入图后，输出以 \(1\) 为根的 \(\tt SPT\) 所使用的各条边的编号、边权和。
map<pair<int, int>, int> id;
namespace G {vector<pair<int, int> > ver[N];map<pair<int, int>, int> edge;int v[N], d[N], pre[N], vis[N];int ans = 0;void add(int x, int y, int w) {ver[x].push_back({y, w});edge[{x, y}] = edge[{y, x}] = w;}void djikstra(int s) { // ！注意，该 djikstra 并非原版，多加了一个等于号priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII> > q; q.push({0, s});memset(d, 0x3f, sizeof d); d[s] = 0;while (!q.empty()) {int x = q.top().second; q.pop();if (v[x]) continue; v[x] = 1;for (auto [y, w] : ver[x]) {if (d[y] >= d[x] + w) { // ！注意，SPT 这里修改为>=号d[y] = d[x] + w;pre[y] = x; // 记录前驱结点q.push({d[y], y});}}}}void dfs(int x) {vis[x] = 1;for (auto [y, w] : ver[x]) {if (vis[y]) continue;if (pre[y] == x) {cout << id[{x, y}] << " "; // 输出SPT所使用的边编号ans += edge[{x, y}];dfs(y);}}}void solve(int n) {djikstra(1); // 以 1 为根dfs(1); // 以 1 为根cout << endl << ans; // 输出SPT的边权和}
}
bool Solve() {int n, m; cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= m; ++ i) {int x, y, w; cin >> x >> y >> w;G::add(x, y, w), G::add(y, x, w);id[{x, y}] = id[{y, x}] = i;}G::solve(n);return 0;
}
)
