单源最短路径（SSSP问题）

单源最短路径（SSSP问题）

（正权稀疏图）动态数组存图+Djikstra算法

使用优先队列优化，以 \(\mathcal O(M\log N)\) 的复杂度计算。

vector<int> dis(n + 1, 1E18);
auto djikstra = [&](int s = 1) -> void {using PII = pair<int, int>;priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;q.emplace(0, s);dis[s] = 0;vector<int> vis(n + 1);while (!q.empty()) {int x = q.top().second;q.pop();if (vis[x]) continue;vis[x] = 1;for (auto [y, w] : ver[x]) {if (dis[y] > dis[x] + w) {dis[y] = dis[x] + w;q.emplace(dis[y], y);}}}
};

（负权图）Bellman ford 算法

使用结构体存边（该算法无需存图），以 \(\mathcal{O} (NM)\) 的复杂度计算，注意，当所求点的路径上存在负环时，所求点的答案无法得到，但是会比 INF 小（因为负环之后到所求点之间的边权会将 d[end] 的值更新），该性质可以用于判断路径上是否存在负环：在 \(N-1\) 轮后仍无法得到答案（一般与 \({\tt INF} / 2\) 进行比较）的点，到达其的路径上存在负环。

下方代码例题：求解从 \(1\) 到 \(n\) 号节点的、最多经过 \(k\) 条边的最短距离。

const int N = 550, M = 1e5 + 7;
int n, m, k;
struct node { int x, y, w; } ver[M];
int d[N], backup[N];void bf() {memset(d, 0x3f, sizeof d); d[1] = 0;for (int i = 1; i <= k; ++ i) {memcpy(backup, d, sizeof d);for (int j = 1; j <= m; ++ j) {int x = ver[j].x, y = ver[j].y, w = ver[j].w;d[y] = min(d[y], backup[x] + w);}}
}
int main() {cin >> n >> m >> k;for (int i = 1; i <= m; ++ i) {int x, y, w; cin >> x >> y >> w;ver[i] = {x, y, w};}bf();for (int i = 1; i <= n; ++ i) {if (d[i] > INF / 2) cout << "N" << endl;else cout << d[n] << endl;}
}

（负权图）SPFA 算法

以 \(\mathcal{O}(KM)\) 的复杂度计算，其中 \(K\) 虽然为常数，但是可以通过特殊的构造退化成接近 \(N\) ，需要注意被卡。

const int N = 1e5 + 7, M = 1e6 + 7;
int n, m;
int ver[M], ne[M], h[N], edge[M], tot;
int d[N], v[N];void add(int x, int y, int w) {ver[++ tot] = y, ne[tot] = h[x], h[x] = tot;edge[tot] = w;
}
void spfa() {ms(d, 0x3f); d[1] = 0;queue<int> q; q.push(1);v[1] = 1;while(!q.empty()) {int x = q.front(); q.pop(); v[x] = 0;for (int i = h[x]; i; i = ne[i]) {int y = ver[i];if(d[y] > d[x] + edge[i]) {d[y] = d[x] + edge[i];if(v[y] == 0) q.push(y), v[y] = 1;}}}
}
int main() {cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= m; ++ i) {int x, y, w; cin >> x >> y >> w;add(x, y, w);}spfa();for (int i = 1; i <= n; ++ i) {if (d[i] == INF) cout << "N" << endl;else cout << d[n] << endl;}
}

（正权稠密图）邻接矩阵存图+Djikstra算法

很少使用，以 \(\mathcal{O} (N^2)\) 的复杂度计算。

const int N = 3010;
int n, m, a[N][N];
int d[N], v[N];void dji() {ms(d, 0x3f); d[1] = 0;for (int i = 1; i <= n; ++ i) {int x = 0;for (int j = 1; j <= n; ++ j) {if(v[j]) continue;if(x == 0 || d[x] > d[j]) x = j;}v[x] = 1;for (int j = 1; j <= n; ++ j) d[j] = min(d[j], d[x] + a[x][j]);}
}
int main() {cin >> n >> m;ms(a, 0x3f);for (int i = 1; i <= m; ++ i) {int x, y, w; cin >> x >> y >> w;a[x][y] = min(a[x][y], w); //注意需要考虑重边问题a[y][x] = min(a[y][x], w); //无向图建双向边}dji();for (int i = 1; i <= n; ++ i) {if (d[i] == INF) cout << "N" << endl;else cout << d[n] << endl;}
}