点分治 / 树的重心

点分治 / 树的重心

重心的定义：删除树上的某一个点，会得到若干棵子树；删除某点后，得到的最大子树最小，这个点称为重心。我们假设某个点是重心，记录此时最大子树的最小值，遍历完所有点后取最大值即可。

重心的性质：重心最多可能会有两个，且此时两个重心相邻。

点分治的一般过程是：取重心为新树的根，随后使用 \(\tt dfs\) 处理当前这棵树，灵活运用 child 和 pre 两个数组分别计算通过根节点、不通过根节点的路径信息，根据需要进行答案的更新；再对子树分治，寻找子树的重心，……。时间复杂度降至 \(\mathcal O(N\log N)\) 。

int root = 0, MaxTree = 1e18; //分别代表重心下标、最大子树大小
vector<int> vis(n + 1), siz(n + 1);
auto get = [&](auto self, int x, int fa, int n) -> void { // 获取树的重心siz[x] = 1;int val = 0;for (auto [y, w] : ver[x]) {if (y == fa || vis[y]) continue;self(self, y, x, n);siz[x] += siz[y];val = max(val, siz[y]);}val = max(val, n - siz[x]);if (val < MaxTree) {MaxTree = val;root = x;}
};auto clac = [&](int x) -> void { // 以 x 为新的根，维护询问set<int> pre = {0}; // 记录到根节点 x 距离为 i 的路径是否存在vector<int> dis(n + 1);for (auto [y, w] : ver[x]) {if (vis[y]) continue;vector<int> child; // 记录 x 的子树节点的深度信息auto dfs = [&](auto self, int x, int fa) -> void {child.push_back(dis[x]);for (auto [y, w] : ver[x]) {if (y == fa || vis[y]) continue;dis[y] = dis[x] + w;self(self, y, x);}};dis[y] = w;dfs(dfs, y, x);for (auto it : child) {for (int i = 1; i <= m; i++) { // 根据询问更新值if (q[i] < it || !pre.count(q[i] - it)) continue;ans[i] = 1;}}pre.insert(child.begin(), child.end());}
};auto dfz = [&](auto self, int x, int fa) -> void { // 点分治vis[x] = 1; // 标记已经被更新过的旧重心，确保只对子树分治clac(x);for (auto [y, w] : ver[x]) {if (y == fa || vis[y]) continue;MaxTree = 1e18;get(get, y, x, siz[y]);self(self, root, x);}
};get(get, 1, 0, n);
dfz(dfz, root, 0);