20251021 NOIP模拟赛

T2

题目大意；

有一棵大小为 \(n\) 的树和 \(m\) 个关键点，你要从这 \(m\) 个关键点中随机选择 \(k\) 个点，问这 \(k\) 个点两两之间最长距离的期望是多少。
\(n \le 2000, m \le 300\)

解题思路：

最暴力的做法肯定是直接 dp，但时间复杂度是 \(O((nm)^2)\) 起步的，所以我们考虑使用 “最长距离” 的性质。
我们单独把这 \(k\) 个点的生成树抠出来，那么最长距离显然等价于直径。

我们考虑枚举 \((u,v)\) 字典序的直径，只需要计算方案数，但我们有一个特殊的性质，那就是树的直径的两个端点对于每一个点都是最远的。

那么任意一对点，你只需要判他们到我们枚举的直径是否大于直径即可。
\(O(m^3)\)。

这是本题的特殊性质，遇到 dp 复杂度太高的计数题，可以去观察 dp 的条件的特殊性来优化之间复杂度。

T3

题目大意：

有一个大小为 \(n\)，边数为 \(m\) 的仙人掌，求他的邻接矩阵的行列式。
\(n \le 10^5\)

解题思路：

我们发现行列式枚举的 \(p\) 的置换环在仙人掌中必须也是环，包括二元环。
相当于从仙人掌里找到几个不交的环，算他们的贡献。
套路地，圆方树上做树形 dp。
现在唯一的难点变成了怎么算 \(2^{inv(p)}\)，而且我们现在只知道每个环长，希望对他俩进行一个转化。
考虑在一个排列中，每次交换任意两个相邻的数会将逆序对变化 1，而且也会对置换环的个数变化 1。

由于 \(-1\) 的幂只和奇偶性有关系，所以我们发现 \((-1)^{inv(p)} = (-1)^{n - cyc(p)}\)。
\(O(n)\)。
这题最后一步还是很有意思的，就是如何将我们未知的转化成我们已知的。

T4：

题目大意：

你要将 \(n\) 个石子分到 \(k\) 堆里，然后两人流操作，每个人可以选择至少一堆，至多 \(m\) 堆并取任意数量的石子，求第一个人获胜的不同的分法。
\(n \le 10^4, k \le 10^3\)。

解题思路：

还是太不敢猜了。
考虑 \(m = 1\) 时，就是经典 \(Nim\) 游戏，然后你设 \(dp_{i,j,0/1}\) 表示考虑了二进制前 \(i\) 位，和为 \(j\)，异或值是否不为 0 的方案数。
然后我们希望将 \(nim\) 的结论推广出去，先考虑最经典的 \(nim\)。

我们胜利的条件为：他们整体的二进制位下，并非每一位的 1 的出现次数为 2 的倍数的方案。

那么考虑将 \(2\) 替换成 \(m + 1\)，这就是这个题。