算法第二章实践作业

1.随机选择数组中的一个元素作为基准值，将数组划分为三部分：小于基准值的元素（左子数组）、等于基准值的元素（中间部分）、大于基准值的元素（右子数组）。若左子数组的长度 ≥ k，则第 k小的元素一定在左子数组中，递归处理左子数组；若左子数组长度 < k 且 左子数组长度 + 中间部分长度 ≥ k，则基准值就是第k小的元素；否则， k小的元素在右子数组中，递归处理右子数组，此时 k 需更新为 k - 左子数组长度 - 中间部分长度。当子数组长度为 1 时，直接返回该元素。
2.最好时间复杂度：O(n)。每次划分时，基准值恰好将数组分为大小均衡的两部分，递归深度为O(logn)，每层处理的元素总数为O(n)，因此总时间为O(n)；
最坏时间复杂度：O(n²)。若每次划分选择的基准值是当前子数组中的最大或最小元素，会导致子数组规模仅减少1，此时递归深度为O(n)，每层处理O(n)个元素，总时间为O(n²)。
3.分治法核心思想：分治法通过 “分解（将大问题拆分为相似子问题）→ 解决（递归处理子问题）→ 合并（子问题结果整合为原问题解）” 三步，将复杂问题简化。其关键在于子问题与原问题的相似性，以及划分后子问题规模的显著减小。分治法能有效降低问题复杂度，尤其适用于可均匀划分的问题，如快速排序、归并排序、二分查找，此时时间复杂度可从O(n²)降至 O(nlogn)或O(logn)。适合并行计算，子问题可独立处理。