泰勒展开

我们不妨令 \(x\geq x_0\)。

\[f(x) = f(x_0) + \int^x_{x_0}f'(t)\text{d}t \]

然后我们换一下积分变量。

\[f(x) = f(x_0) + \int^x_{x_0}f'(t)\text{d}(t - x) \]

然后我们分部积分。

\[f(x) = f(x_0) + \int^x_{x_0}(t - x)f'(t)\text{d}t - \int^x_{x_0}f''(t)(t - x)\text{d}x \\ f(x) = f(x_0) + (x - x_0)f'(x_0) - \dfrac{1}{2}\int^x_{x_0}f''(t)\text{d}(t - x)^2 \]

然后就一直这么算，可以得到，

\[f(x) = \sum^N_{n = 0}\dfrac{(x - x_0)^n}{n!}f^{(n)}(x_0) + \int^x_{x_0}\dfrac{(x - t)^N}{N!}f^{(N + 1)}(x_0)\text{d}t \]

根据带权拉格朗日中值定理，得到后面的那一项

\[= f^{(N + 1)}(c)\int^x_{x_0}\dfrac{(x - t)^N}{N!}\text{d}t\\ = \dfrac{(x - x_0)^{N + 1}}{(N + 1)!}f^{(N + 1)}(c) \]

其中，\(c\) 一般满足 \(x_0\leq c\leq x\)。