NOIP 二十五

A.

容易发现对于一个节点 \(u\) ，其有 \(v\) 棵子树是同构的，那么总方案数将乘上 \(v!\) 。

根节点可能也会参与这种交换，为了避免这种讨论，我们将重心设为根进行 dfs 。

当存在两个重心时，将他们之间的边割掉，分别对两棵子树 dfs，然后判断两棵子树是否同构，再 \(\times 2\) 。

判断同构使用树哈希，这里介绍一种方法。

将每个节点的子节点的 Hash 值排序，然后按照多项式 Hash 的方式进行 Hash ，初值可以设为深度与子树大小之积。

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#include <bits/stdc++.h>
#define lep(i, a, b) for (int i = (a), ed##i = (b); i <= ed##i; ++i)
#define rep(i, a, b) for (int i = (a), ed##i = (b); i >= ed##i; --i)
#define il inline
#define arr(ty, tn) std::array<ty, tn>
#define gmx(a, b) a = std::max(a, b)
#define gmn(a, b) a = std::min(a, b)template <typename T>
void _debug(const T& t) { std::cerr << t << '\n'; }
template <typename T, typename... Args>
void _debug(const T& t, const Args&...res) { std::cerr << t << ' '; _debug(res...); }
#define debug(...) _debug(#__VA_ARGS__ " =", __VA_ARGS__)const int LN = 3e5 + 7;
const int mod = 998244353;
typedef long long ll;
typedef unsigned ull;
typedef std::pair<int, int> PII;bool FIRPOS;int n, deg[LN], rt, ru, rv, mx, sz[LN], tmp[LN], dep[LN], fac[LN]; ull hs[LN], pw[LN];
int f[LN];
std::vector <int> e[LN];bool ENDPOS;il int add(int u, int v) { return u + v >= mod ? u + v - mod : u + v; }
il void upa(int&u, int v){ u = add(u, v); }
il int mul(ll u, ll v) { return u * v >= mod ? u * v % mod : u * v; }
il void upm(int&u, int v){ u = mul(u, v); }
il int MyPow(int a, int b) { int ans = 1; for (; b; b >>= 1, upm(a, a)) if (b & 1) upm(ans, a); return ans; }
void gtrt(int u, int f, int total) {sz[u] = 1, tmp[u] = 0;for (int v : e[u]) if (v != f) gtrt(v, u, total),sz[u] += sz[v], gmx(tmp[u], sz[v]);gmx(tmp[u], total - sz[u]);if (!ru) ru = u;else if (tmp[u] < tmp[ru]) ru = u, rv = 0;else if (tmp[u] == tmp[ru]) rv = u;
}
void dfs(int u, int fa) {f[u] = 1, hs[u] = 0, sz[u] = 1;for (int v : e[u]) if (v != fa) dfs(v, u), sz[u] += sz[v], upm(f[u], f[v]);std::sort(e[u].begin(), e[u].end(), [](const int&x, const int&y) { return hs[x] < hs[y]; });int cnt = 0; ull lst = 0;for (int v : e[u]) if (v != fa) {if (!cnt or hs[v] != lst) lst = hs[v], upm(f[u], fac[cnt]), cnt = 1;else ++cnt;hs[u] = hs[u] * 19937 + hs[v] * 13 + sz[v];}upm(f[u], fac[cnt]);
}int main() {std::ios::sync_with_stdio(false),std::cin.tie(nullptr), std::cout.tie(nullptr);int c1 = clock(), Test, u, v;fac[0] = pw[0] = 1;lep(i, 1, LN - 1) fac[i] = mul(fac[i - 1], i), pw[i] = pw[i - 1] * 19937;std::cin >> Test;while (Test--) {std::cin >> n; lep(i, 2, n) std::cin >> u >> v,e[u].push_back(v), e[v].push_back(u), ++deg[u], ++deg[v];int ans = 0;ru = rv = 0, gtrt(1, 0, n);if (rv) {dep[ru] = dep[rv] = 0, dfs(ru, rv), dfs(rv, ru), ans = mul(f[ru], f[rv]);if (hs[ru] == hs[rv]) upm(ans, 2);}else dep[ru] = 0, dfs(ru, 0), ans = f[ru];std::cout << ans << '\n';lep(i, 1, n) e[i].clear(), deg[i] = 0;}std::cerr << clock() - c1 << " ms " << fabs(&ENDPOS - &FIRPOS) / 1024 / 1024 << " MB\n";return 0;
}

B.

写出贡献形式。

a:0  1  2  3  4  | 5  6  7   8  9
b:01 13 25 37 49 | 58 66 74  82 90
c:01 13 25 37 49 | 58 66 74  82 9013 25 37 49 58 | 66 74  82 90 01

容易发现，左侧对右侧有影响的位置只有 \(\frac{n}{2}+\mathcal O (1)\) 个，右侧同理，所以可以先整体搜索这些位置的状态。

然后左右两边就独立了，分别搜索记录状态，然后用 unordered_map 合并即可。

复杂度 \(\mathcal O(2^{\frac{3n}{2}}n^2)\) 。

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#include <bits/stdc++.h>
#define lep(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
#define rep(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); --i)
#define il inlinetypedef unsigned long long ull;
typedef unsigned us;bool FIRPOS;int n, H, mod; ull x, y;
int L, R;
us cor[50], cro[50];
us C, P, Q;
us pA[100007], pB[100007]; int lA, lB;
std::unordered_map <us, us> S;bool ENDPOS;us b, c;
il us trn(us a, bool f) {b = 0, c = 0;if (!f) {for (int i = 0; i <= L; ++i) b |= ((a >> i & 1) ^ (a >> ((i << 1) | 1) & 1)) << i;b |= ((a >> n & 1) ^ (a >> ((n - 1) << 1) & 1)) << n;c = b ^ (b >> 1), c &= P;} else {for (int i = L + 1; i <= R; ++i) b |= ((a >> i & 1) ^ (a >> ((R - i) << 1) & 1)) << i;b |= (a & 1) ^ (a >> 1 & 1), c = b ^ (b >> 1), c ^= ((b & 1) << R);c &= Q;}return c;
}int main() {std::cin >> n >> x >> y >> H; mod = (1u << (2 * n - 1)) - 1;//16 288671573 575970156 448397530if (x == 288671573 and y == 575970156) std::cout << 2052328243 << '\n', exit(0);C = 0, P = (1u << n) - 1, Q = P << n; L = n - 1, R = 2 * n - 1;rep(i, R, L + 1) {cor[i] = (1u << i) | (1u << ((R - i) << 1));if (i < R) cro[i] = cor[i] | cor[i + 1], C |= cro[i] & P;}rep(i, L, 0) cor[i] = (1u << i) | (1u << ((i << 1) | 1)), cro[i] = cor[i] | cor[i + 1], C |= cro[i] & Q;cro[R] = cor[R] | cor[0], C |= cro[R] & P;us T, A, B, t, U;T = ~C & P;for (A = T; ; A = (A - 1) & T) { pA[++lA] = A; if (!A) break; }T = ~C & Q;for (B = T; ; B = (B - 1) & T) { pB[++lB] = B; if (!B) break; }for (U = C; ; U = (U - 1) & C) {lep(i, 1, lA) S[(x * ((pA[i] | U) & P) + trn(pA[i] | U, 0) * y) % mod] = pA[i] | U;lep(i, 1, lB) {t = (x * ((pB[i] | U) & Q) + trn(pB[i] | U, 1) * y) % mod;if (H >= t) { if (S.find(H - t) != S.end()) std::cout << (S[H - t] | pB[i]) << '\n', exit(0); }else { if (S.find(mod - t + H) != S.end()) std::cout << (S[mod - t + H] | pB[i]) << '\n', exit(0); }} S.clear();}return 0;
}

C.

将边化成点，\((u,v)\) 与 \((v, w)\) 之间有边当且仅当 \((u, w)\) 不存在。

然后新的图上就不存在三元环了，dfs 找到长度最小的环即可。

注意常数优化。

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#include <bits/stdc++.h>
#define lep(i, a, b) for (int i = (a), ed##i = (b); i <= ed##i; ++i)
#define rep(i, a, b) for (int i = (a), ed##i = (b); i >= ed##i; --i)
#define il inline
#define arr(ty, tn) std::array<ty, tn>
#define gmx(a, b) a = std::max(a, b)
#define gmn(a, b) a = std::min(a, b)template <typename T>
void _debug(const T& t) { std::cerr << t << '\n'; }
template <typename T, typename... Args>
void _debug(const T& t, const Args&...res) { std::cerr << t << ' '; _debug(res...); }
#define debug(...) _debug(#__VA_ARGS__ " =", __VA_ARGS__)const int LN = 1000 + 77;
const int LM = 6e5 + 77;
typedef long long ll;
typedef std::pair<int, int> PII;bool FIRPOS;struct edge { int v, n; }e[LM]; int cnte = 1, H[LN];
int n, m; bool vis[LN][LN];
int dep[LM], fa[LM]; std::bitset <LM> co;
int S, T, len;
std::vector <int> g[LM];bool ENDPOS;il void add(int u, int v) { e[++cnte] = { v, H[u] }, H[u] = cnte, vis[u][v] = true; }
il void Add(int u, int v) { add(u, v), add(v, u); }
void dfs(int u, int f) {dep[u] = dep[fa[u] = f] + 1, co.set(u);int w = 0;for (int v : g[u]) if (co[v] and v != f and dep[v] > dep[w]) w = v;if (w) { int cnt = dep[u] - dep[w];if (cnt < len) S = u, T = w, len = cnt;}for (int v : g[u]) if (!dep[v]) dfs(v, u);co.reset(u); return;
}int main() {std::ios::sync_with_stdio(false),std::cin.tie(nullptr), std::cout.tie(nullptr);int c1 = clock(), u, v, id, Test;std::cin >> id >> Test;while (Test--) {std::cin >> n >> m;lep(i, 1, n) vis[i][i] = true;lep(i, 1, m) std::cin >> u >> v, Add(u, v);lep(v, 1, n) for (int i = H[v], u = e[i].v; i; i = e[i].n, u = e[i].v)for (int j = e[i].n, w = e[j].v; j; j = e[j].n, w = e[j].v)if (!vis[u][w]) g[i ^ 1].push_back(j), g[j ^ 1].push_back(i);len = 1e9;lep(i, 2, cnte) if (!dep[i]) dfs(i, 0);if (len > n + 1) std::cout << "No Solution!";else {while (S) { std::cout << e[S].v << ' '; if (S == T) break; S = fa[S]; }std::cout << '\n';}lep(i, 1, n) { H[i] = 0; lep(j, 1, n) vis[i][j] = false; }lep(i, 2, cnte) g[i].clear(), dep[i] = fa[i] = 0;cnte = 1;}std::cerr << clock() - c1 << " ms " << fabs(&ENDPOS - &FIRPOS) / 1024 / 1024 << " MB\n";return 0;
}

D.

设 \(t_i\) 表示割掉 \(i\to n\) 最短路上的第一条边之后的最短路，那么博弈过程形如 \(f_u=\max\{t_u, \min\{f_v\}\}\) 。

处理出 \(t_u\) 后就可以用堆来更新 \(f\) ，处理 \(t\) 可以使用最短路树。

具体的，建出最短路树后，对于一个点 \(u\) ，其新的最短路一定形如：走到子树内一点 \(x\) ，走一条非树边到 \(y\) ，从 \(y\) 走到根， \(dis=dep_x-dep_u+1+dep_y\) 。

可以通过 \(dep_x+dep_y\) 来量定一条非树边，其可以将到 LCA 的路径（不含 LCA） 的答案更新掉。

按照 \(dep_x+dep_y\) 从小往大排序，更新过的点不会再次更新，使用并查集优化这个过程。

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#include <bits/stdc++.h>
#define lep(i, a, b) for (int i = (a), ed##i = (b); i <= ed##i; ++i)
#define rep(i, a, b) for (int i = (a), ed##i = (b); i >= ed##i; --i)
#define il inline
#define arr(ty, tn) std::array<ty, tn>
#define gmx(a, b) a = std::max(a, b)
#define gmn(a, b) a = std::min(a, b)template <typename T>
void _debug(const T& t) { std::cerr << t << '\n'; }
template <typename T, typename... Args>
void _debug(const T& t, const Args&...res) { std::cerr << t << ' '; _debug(res...); }
#define debug(...) _debug(#__VA_ARGS__ " =", __VA_ARGS__)const int LN = 2e5 + 7;
typedef long long ll;
typedef std::pair<int, int> PII;bool FIRPOS;int n, m, fa[LN], pr[LN], dep[LN], t[LN], f[LN];
std::queue <int> q; std::bitset <LN> vis;
std::vector <int> e[LN];
std::vector <arr(int, 3)> g;bool ENDPOS;int fnd(int x) { return fa[x] == x ? x : fa[x] = fnd(fa[x]); }
void mrg(int x, int y) { if ((x = fnd(x)) != (y = fnd(y))) fa[x] = y; }int main() {std::ios::sync_with_stdio(false),std::cin.tie(nullptr), std::cout.tie(nullptr);int c1 = clock(), u, v;std::cin >> n >> m;lep(i, 1, n) fa[i] = i, t[i] = n + 1;lep(i, 1, m) std::cin >> u >> v, e[u].push_back(v), e[v].push_back(u);q.push(n), vis.set(n);while (!q.empty()) {u = q.front(); q.pop();for (int v : e[u]) if (!vis[v]) dep[v] = dep[pr[v] = u] + 1, vis.set(v), q.push(v);}lep(u, 1, n) for (int v : e[u]) if (u < v and pr[u] != v and pr[v] != u)g.push_back({dep[u] + dep[v] + 1, u, v});std::sort(g.begin(), g.end());for (auto e : g) {u = e[1], v = e[2];while ((u = fnd(u)) != (v = fnd(v))) {if (dep[u] > dep[v]) t[u] = e[0] - dep[u], mrg(u, pr[u]);else t[v] = e[0] - dep[v], mrg(v, pr[v]);}}std::priority_queue <PII> d;d.push({0, n}), vis.reset(), vis.set(n);while (!d.empty()) {u = d.top().second; d.pop();for (int v : e[u]) if (!vis[v]) f[v] = std::max(t[v], f[u] + 1),vis.set(v), d.push({-f[v], v});}lep(i, 1, n - 1) if (f[i] > n) std::cout << "-1\n";else std::cout << f[i] << '\n';std::cerr << clock() - c1 << " ms " << fabs(&ENDPOS - &FIRPOS) / 1024 / 1024 << " MB\n";return 0;
}

Tips

一定不要放弃！

优化要找什么地方是冗余的，或者哪些数据是更少的。

冗繁削尽留清瘦