图论刷题记录

• P8186 [USACO22FEB] Redistributing Gifts S

Floyd 传递闭包模板。

首先对于每只奶牛，先看它和那些比在它目前手中礼物要珍贵的礼物的主人能否交换，然后做一遍传递闭包，最后对于每只奶牛直接找排名最靠前并且能与自己原本手中礼物互换的礼物。

直接用 Floyd 是 \(O(n^3)\) 的，我用的是 bitset 优化，优化到了 \(O(\frac{n^3}{w})\)。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[505][505];
bitset<505>f[505];
signed main()
{ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);int n;cin >> n;for(int i = 1;i<=n;i++){for(int j = 1;j<=n;j++){cin >> a[i][j];}}for(int i = 1;i<=n;i++){for(int j = 1;j<=n;j++){f[i][a[i][j]] = 1;if(a[i][j] == i){break;}}}for(int j = 1;j<=n;j++){for(int i = 1;i<=n;i++){if(f[i][j]){f[i]|=f[j];}}}for(int i = 1;i<=n;i++){for(int j = 1;j<=n;j++){if(f[i][a[i][j]]&&f[a[i][j]][i]){cout << a[i][j] << '\n';break;}}}return 0;
}

• P9126 [USACO23FEB] Moo Route II S

SPFA……它没死！！！

首先很容易想到朴素的 SPFA，但是复杂度是 \(O(nm)\) 的。很容易想到 SPFA 被卡的地方就是每条边无法保证只被遍历 \(1\) 次，所以……如何让它只被遍历 \(1\) 次？首先，你要知道，不管你到 \(i\) 的时间有多早，你都是在同一时刻到达另一个 \(j\)，很显然，只需将图中的所有点的联通的点按照它起飞的时间降序排序，那么对于后面再访问只需访问前面没法访问的进行尝试即可，你会发现这样每条边只会遍历一次，所以复杂度变成了 \(O(n+m)\)。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5+5;
int vis[N];
int a[N];
int d[N];
int last[N];
struct node
{int x;int b;int e;
};
vector<node>e[N];
int q[N];
int cmp(node x,node y)
{return x.b>y.b;
}
signed main()
{ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);int n,m;cin >> n >> m;for(int i = 1;i<=m;++i){int c,r,d,s;cin >> c >> r >> d >> s;e[c].push_back({d,r,s});}for(int i = 1;i<=n;++i){cin >> a[i];}a[1] = 0;for(int i = 1;i<=n;++i){sort(e[i].begin(),e[i].end(),cmp);}memset(d,0x3f,sizeof(d));int h = 1,t = 0;q[++t] = 1;d[1] = 0;vis[1] = 1;while(h<=t){int x = q[h];vis[x] = 0;++h;for(int _ = last[x];_<e[x].size();++_){int v = e[x][_].x,b = e[x][_].b,ee = e[x][_].e;if(b<d[x]+a[x]){break;}if(ee<d[v]){d[v] = ee;if(!vis[v]){vis[v] = 1;q[++t] = v;}}}}for(int i = 1;i<=n;++i){cout << (d[i] == d[0]?-1:d[i]) << '\n';}return 0;
}

• P12026 [USACO25OPEN] Compatible Pairs S

一眼图论建模。

首先，当 \(d_i \le a\) 那么就可以让 \(i\) 和 \(a-d_i\) 所在的编号连边，然后 \(b\) 也是同理，特判 \(a = b\) 的情况。然后建好边之后很显然发现这是一条可能有自环的链，最优做法就是从链的两端向里回流，很显然拓扑轻松搞定。

代码（要处理自环）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5+5;
map<int,int>mp;
int w[N],d[N];
int chu[N];
int q[N];
vector<int>e[N];
signed main()
{ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);int n,a,b;cin >> n >> a >> b;for(int i = 1;i<=n;++i){cin >> w[i] >> d[i];mp[d[i]] = i;}for(int i = 1;i<=n;++i){auto it = mp.find(a-d[i]);if(d[i]<=a&&it!=mp.end()){++chu[i];e[i].push_back(it->second);}if(a == b){continue;}it = mp.find(b-d[i]);if(d[i]<=b&&it!=mp.end()){++chu[i];e[i].push_back(it->second);}}int h = 1,t = 0;for(int i = 1;i<=n;i++){if(chu[i] == 1){q[++t] = i;	}}long long ans = 0;while(h<=t){int x = q[h];++h;for(int v:e[x]){if(v == x){ans+=w[v]>>1;w[v] = w[v]&1;}else if(w[v]){int cnt = min(w[x],w[v]);w[x]-=cnt;w[v]-=cnt;ans+=cnt;q[++t] = v;}}}cout << ans;return 0;
}

• P12649 [KOI 2024 Round 2] 收集彩球

妙妙图论建模。

首先考虑将每个盒子上面的球的颜色向下面的球的颜色连一条有向边，然后会发现会形成若干个连通块，任意连通块互不影响，所以只看单个连通块如何处理，先判断无解，其实如果颜色中两个球都在各自盒子的上方的颜色数超过 \(1\)，那么无解，显然是对的，因为挪动的情况只有空或者颜色相同，但很显然不可能颜色相同，空的话只能允许挪动一次，很明显要挪动的不止一次，所以无解。考虑如何算最小挪动次数，首先对于某个颜色，把这个颜色对应的两个球都拿上来，解放下面的球，花费 \(2\)，然后将被解放的球挪动到与其颜色相同的球的上面，花费 \(cnt-1\)，总共 \(2+(cnt-1) = cnt+1\)。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5+5;
vector<int>e[N];
int ru[N];
int cnt;
int num;
int vis[N];
void dfs(int x)
{for(int v:e[x]){if(!vis[v]){++cnt;num+=ru[v] == 0;vis[v] = 1;dfs(v);}}
}
signed main()
{ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);int n;cin >> n;for(int i = 1;i<=n;++i){int x,y;cin >> x >> y;e[x].push_back(y);e[y].push_back(x);++ru[y];}int ans = 0;for(int i = 1;i<=n;++i){if(!vis[i]){vis[i] = 1;cnt = 1;num = ru[i] == 0;dfs(i);if(num>1){cout << -1 << '\n';return 0;}if(cnt!=1){ans+=cnt+1;}}}cout << ans;return 0;
}