LGR-246 解题报告

T1

很水的计数。

T2

注意到如果满足分割条件，那么选取的点需要满足一下要求：

• 所有分割点的深度相同：因为如果不满足这一点，我们可以进行分类讨论：

  • 如果存在深度比其他点小的点，那么它一定是 \(b_1\)，又因为其他点的深度小于它，所以它们包含深度的交集一定包含这个点的深度，故不满足条件；

  • 如果存在深度比其他点大的点，那么它一定不是 \(b_1\)，又因为它比其它点的深度大，那么 \(b_1\) 的深度一定不属于交集。

• 这个深度上至少有 \(k+1\) 个点：你需要留一个点给第 \(k+1\) 颗子树。

那么我们对每一层上的点进行统计：首先，我们可以明确的是，一个点做 \(b_1\) 时，其他点的高度一定要大于等于它。不然交集会小于该点的高度集；且必须有一个点的高度等于它，不然我们也不能使交集等于它的高度集。我们记有 \(x\) 个点的高度大于它，有 \(y\) 个点的高度等于它（包括它自己）。接下来是一个小分讨：

• 如果 \(y=1\)：那么没有答案。

• 如果当前有 \(k-1\) 个点的高度大于它：那么我们此时可以只选一个点作为分割点。所以贡献为 \(x\times A_{y}^{k-1}\)；

• 如果当前有 \(y \ge 2\)：那么我们可以容斥一下：把任意选取的方案数减去 \(k-1\) 个全选高度大于它的方案数，即 \(x \times(A_{x+y-1}^{k-1}-A_{y}^{k-1})\)。

T3

我们先考虑怎么回答询问，再考虑怎么修改。

首先，我们抽象一下这个问题：我们想从 \([1,x]\) 中的某一个点到 \([y,n]\)，且使距离最小。

这个有点像在二维数组上求最小值。但是这不可行。

我们有一个观察：这个二维数组是一个下三角矩阵，且在同一列上，行越小，值越小。

我们又有一个观察：我们每一次操作 \((x,y)\)，其实都是在这个数组上删除左上角为 \((x,x)\)，右下角为 \((y,y)\) 的矩阵内的元素。

第二个观察启发我们一个点不能达到的位置一定是一个连续区间，且随着下标的增加，不能到达的位置单调不降。

第一个观察启发我们，一个点到它可以达到的最左的点是距离最小的。

于是我们有一个回答询问的方法：我们每一次先二分出 \([1,x]\) 内可以直接到达 \([y,n]\) 的最大位置 \(p\)，然后对 \([1,p]\)，询问到 \(y\) 的最小值；对 \([p+1,x]\) 询问到它们各自可以到达的最左位置的最小值。

那我们或许可以通过数据结构加速这个过程：如果我们可以知道一个点是否可以到达另一个点，且从一个点出发，到达最右的点的距离是多少，且在区间上合并第二个信息，我们就做完了。显然，线段树是一个好东西。

做修改时，我们可以通过线段树二分找到当前修改的有效区间，然后对这个区间进行区间赋值，然后贪心地维护区间内到最左位置的最小距离即可。