P9745 「KDOI-06-S」树上异或

很有教育意义的树形DP，看起来很典，但我没见过

首先考虑链的情况，设 \(f_i\) 表示前 \(i\) 个点，所有删边方案中，所有联通块点权异或和的乘积的和，其实就是一个 \(\sum \prod\) 的形式，这样我们枚举最后一个连通块就可以转移了：\(f_i = \sum_{j<，i} f_j \times \oplus_{k=j+1}^i x_k\)。这样转移是 \(O(n)\) 的，总复杂度 \(O(n^2)\)，考虑优化。

我们希望 \(O(1)\) 转移，上面的式子复杂度高，究其原因是需要枚举转移点，这样的跳跃式转移要避免，考虑连续地转移。

异或和其他运算没什么性质，直接拆位，设 \(g_{i,j,k}\) 表示包含 \(i\) 的连通块权值的第 \(j\) 位为 \(k\) 的所有方案中，不包含 \(i\) 的连通块权值的乘积的和。初始时若 \(x_i\) 第 \(j\) 位为 1，则 \(g_{i,j,1}=1\)，否则 \(g_{i,j,0}=1\)。转移

\[g_{i,j,1} = g_{i,j,1}\times (g_{i-1,j,0}+f_{i-1})+g_{i,j,0}\times g_{i-1,j,1} \]

\[g_{i,j,0} = g_{i,j,1}\times g_{i-1,j,1}+g_{i,j,0}\times (g_{i-1,j,1}+f_{i-1}) \]

\[f_i=\sum_{j=0}^{63}2^j\times g_{i,j,1} \]

把这个搬到树上是一样的，答案是 \(f_1\)。

上面转移时要加 \(f_{i-1}\) 是因为 \(g_{i-1,j,k}\) 钦定了包含 \(i-1\)，实际上不包含的也要算进去，这点在序列上看不出来，但在树上是很关键的，因为树上的连通块有多个分支，而序列上只有一个。