[note] slope trick

news/2025/10/18 16:27:14/文章来源:https://www.cnblogs.com/Lijiangjun4/p/19141754

slope trick 是一个优化二维 DP 的技巧。该二维 DP 需要满足以下条件：

第二维是连续的；
若 DP 的第一维固定时，第二维可以看作一个分段一次函数；
这个函数每一段的斜率为整数；
这个函数是凸函数（每一段的斜率是单调的）。

算法思路

考虑如何维护分段凸函数。首先记录这个函数最右端的函数解析式 \(y=kx+b\)，然后记录这个函数的斜率变化点，如果函数在某个 \(x\) 值斜率变化了 \(1\)，那么就把 \(x\) 加入集合，如果变化不是 \(1\) 就变化多少加多少个 \(x\) 到集合。

比如这个分段函数：

那么我们记录最右边的一次函数 \(y=-2x+8\)，然后记录变化点 \(\{-4,-2,-2,2\}\)。（因为斜率在 \(x=-2\) 处从 \(1\) 变成了 \(-1\)，因此加入两次。）

slope trick 之所以可以优化 DP，是因为这样维护分段函数可以高效支持某些操作。

1. 两个分段函数相加

两个分段函数相加，得到的分段函数最右端的解析式为原来两个的解析式之和。

如图，加一次函数：

函数绿色（\(y=-2x+8,\{-4,-2,-2,2\}\)），加上一次函数红色（\(y=x+2,\varnothing\)），得到蓝色函数 (\(y=-2x+8+x+2=-x+10\)，\(\{-4,-2,-2,2\}+\varnothing=\{-4,-2,-2,2\}\)）。

同样常用的还有绝对值函数：

绿色函数（\(y=-2x+8,\{-4,-2,-2,2\}\)）加红色绝对值函数（\(y=-x-2,\{-4,-4\}\)）得到蓝色函数（\(y=-3x+6,\{-4,-4,-4,-2,-2,2\}\)）。

2. 取函数最小/最大值

函数斜率为 \(0\) 的时候，函数取到最小/最大值。有的人说，函数的最小值是一个“尖”，并不存在斜率为 \(0\) 的时候。但注意到我们记录了分段函数的斜率变化点，实际上在“尖尖”上斜率是先由负变成 \(0\) 再到正数的，你可以认为那就是斜率为 \(0\) 的时候。

为了维护这个函数的极值点，我们可以把斜率变化点以函数极值点为边界分成左右两个部分，用堆来维护（参考对顶堆），设左右两个堆为 \(L,R\)，最右一段的函数解析式为 \(y=kx+b\)，那么我们只要保证 \(R\) 的大小为 \(k\)，\(R\) 堆顶的斜率变化点对应的函数值就是函数的极值。

3. 取函数的前缀/后缀的最大/最小值

设原分段函数为 \(f\)，那么它的前缀最小/最大值 \(F(i)=\min/\max_{j=1}^{i}f(j)\)，后缀最小/最大值 \(G(i)=\min/\max_{j=i}^nf(j)\) 是可以快速的得到的。如图是一个前缀最大值：

由于这是一个凸函数，斜率是单调的，会发现到了斜率为 \(0\) 的那一刻，函数值不变了！

刚刚上一段维护的堆 \(L,R\) 就有用了，只需清空其中一个（比如这次是清空 \(R\)），就可以维护了。

接下来结合例题来解释如何用 slope trick 优化 DP。

例题

P4597 序列 sequence

题目描述

给定一个序列，每次操作可以把某个数 \(+1\) 或 \(-1\)。要求把序列变成非降数列。

对于 \(100 \%\) 的数据，\(1 \le n \le 5 \times {10}^5\)。

解题思路

容易设计出二维的 DP 方案：设 \(f_{i,j}\) 表示第 \(i\) 个数改为 \(j\) 所需最少操作数。则：

\[f_{i,j}=\displaystyle\min_{k\le j} f_{i-1,k}+|a_i-j| \]

发现 \(|a_i-j|\) 是一个下凸函数，而 \(f_1\) 也是下凸函数（初始值为绝对值函数），因此下凸函数加下凸函数还是下凸函数，\(f_i\) 均为下凸函数。

于是从 \(f_i\) 推到 \(f_{i+1}\) 就是取前缀 \(\min\) 后再加绝对值函数。由于全程都是取前缀 \(\min\)，只用维护堆 \(L\)。最右侧的函数 \(y=kx+b\) ，由于加上绝对值函数 \(k\) 加 \(1\)，斜率变化点多 \(2\) 个， \(R\) 堆大小为 \(1\)，取完前缀 \(\min\)，\(R\) 堆清空，因此每次的操作就是往 \(L\) 堆加 \(2\) 个斜率变化点再弹掉 \(1\) 个。

也可以按对顶堆的维护来理解。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
priority_queue<int> q;
int main()
{int n;long long ans=0;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){int x;scanf("%d",&x);q.push(x),q.push(x);ans+=q.top()-x;q.pop();}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

如果以后遇到其他题目再补充