CSP-S 模拟 29

news/2025/10/15 22:16:52/文章来源:https://www.cnblogs.com/Wy-x/p/19144398

CSP-S 模拟 29

A. 一个赢家 (card)

有 \(2n\) 张卡，第 \(i\) 张卡上写着数字 \(i\)。有 \(n\) 个人，这 \(n\) 个人轮流从这些卡中均匀随机拿走两张，不放回。现在每个人手上各有两张卡，手上两张卡上写的数字的和最大的人获胜。显然，胜者可能不止一个，求胜者恰好只有一个的概率。

打表题。

首先我们可以不用考虑顺序，只需考虑方案数即可。

显然的想法是枚举 \(i,j \in [1,2n] (i\ne j)\)，钦定 \(a[i]+a[j]\) 为唯一的那个最大值，计算这种情况的方案数，最后所有情况的方案数的 \(\sum\) 即为总方案数。容易发现这样所有合法情况均被包含在内。

看一个例子：

设 \(n!! = 1 \times 3 \times \dots \times n\)（保证 n 为奇数）

答案为 \(2^6 \times (1!!)\)

再看一个

答案为 \(4^4 \times (3!!)\)

再看一个

答案为 \(6^3 \times (5!!)\)

发现答案为 \(x^p \times (y!!)\) 的形式。

又通过手模发现 \(y=(2n-2)-2x-1\)

设 \(dp[i][j]\) 为钦定 \(a[i]+a[j]\) 为最大值时的方案数。

于是就有 dp 雏形了。

再打个暴力与 dp 中的每一个值相比较，修正 \(2.5h\) 即可得到以下 \(n^2\) 代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long longusing namespace std;const int Size=(1<<20)+1;
char buf[Size],*p1=buf,*p2=buf;
char buffer[Size];
int op1=-1;
const int op2=Size-1;
#define getchar()                                                              \
(tt == ss && (tt=(ss=In)+fread(In, 1, 1 << 20, stdin), ss == tt)     \? EOF                                                                 \: *ss++)
char In[1<<20],*ss=In,*tt=In;
inline int read()
{int x=0,c=getchar(),f=0;for(;c>'9'||c<'0';f=c=='-',c=getchar());for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);return f?-x:x;
}
inline void write(int x)
{if(x<0) x=-x,putchar('-');if(x>9)  write(x/10);putchar(x%10+'0');
}const int mod=1e9+7;
int n;
int ksm(int x,int p)
{if(x<=0||p<0) return 1;int ans=1;while(p){if(p&1) ans*=x,ans%=mod;x*=x;x%=mod;p>>=1;}return ans;
}const int N=5e6+5;
int f[N],frac[N<<1],frac2[N<<1];
int sum[N],sum2[N];
int g[N];
int tot;void init()
{int maxn=5e6;f[0]=1;int tot=1;frac[0]=g[0]=frac[1]=1;frac2[0]=frac2[1]=1;g[1]=2;for(int i=2;i<=n;i++) {frac[i]=frac[i-1]*i%mod;frac2[i]=frac2[i-2]*i%mod;g[i]=g[i-1]*2%mod;}     for(int i=1;i<=(n>>1);i++) g[i]=ksm(g[i],mod-2);for(int i=1;i<=(n>>1);i++) f[i]=frac[i<<1]*g[i]%mod;
}signed main()
{//card.inn=read()<<1;init();if(n==2) { cout<<"1"; return 0; }int ans=0;for(int r=n;r>(n>>1);r--,cout<<"\n")for(int l=r-1;l>n-r+1;l--){int nw=ans;int mid=(l+r+2)>>1;if(mid<=(n>>1)) break;ans+=ksm(l-(n-r)-1,n-mid)*frac2[max(0ll,(n-2-(max(0ll,n-mid)<<1))-1)]%mod;ans%=mod;cout<<"l="<<l<<" r="<<r<<" ksm="<<ksm(l-(n-r)-1,n-mid)<<" frac2="<<frac2[max(0ll,(n-2-(max(0ll,n-mid)<<1))-1)]<<" ans="<<ans<<" dtans="<<ans-nw<<"\n";}cout<<ans*ksm(frac2[n-1],mod-2)%mod<<"\n";return 0;
}

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而这里是打表。

以 \(n=5\) 为例。打出 \(i,j,dp[i][j]\)。

其中 \(dtans=dp[i][j]=ksm*frac2\% mod\ , ans=\sum dtans\)。

使用 ctrl+F。

l=19 r=20 ksm=1 frac2=34459425 ans=34459425 dtans=34459425
l=18 r=20 ksm=1 frac2=34459425 ans=68918850 dtans=34459425
l=17 r=20 ksm=16 frac2=2027025 ans=101351250 dtans=32432400
l=16 r=20 ksm=15 frac2=2027025 ans=131756625 dtans=30405375
l=15 r=20 ksm=196 frac2=135135 ans=158243085 dtans=26486460
l=14 r=20 ksm=169 frac2=135135 ans=181080900 dtans=22837815
l=13 r=20 ksm=1728 frac2=10395 ans=199043460 dtans=17962560
l=12 r=20 ksm=1331 frac2=10395 ans=212879205 dtans=13835745
l=11 r=20 ksm=10000 frac2=945 ans=222329205 dtans=9450000
l=10 r=20 ksm=6561 frac2=945 ans=228529350 dtans=6200145
l=9 r=20 ksm=32768 frac2=105 ans=231969990 dtans=3440640
l=8 r=20 ksm=16807 frac2=105 ans=233734725 dtans=1764735
l=7 r=20 ksm=46656 frac2=15 ans=234434565 dtans=699840
l=6 r=20 ksm=15625 frac2=15 ans=234668940 dtans=234375
l=5 r=20 ksm=16384 frac2=3 ans=234718092 dtans=49152
l=4 r=20 ksm=2187 frac2=3 ans=234724653 dtans=6561
l=3 r=20 ksm=256 frac2=1 ans=234724909 dtans=256
l=2 r=20 ksm=1 frac2=1 ans=234724910 dtans=1l=18 r=19 ksm=16 frac2=2027025 ans=267157310 dtans=32432400
l=17 r=19 ksm=15 frac2=2027025 ans=297562685 dtans=30405375
l=16 r=19 ksm=196 frac2=135135 ans=324049145 dtans=26486460
l=15 r=19 ksm=169 frac2=135135 ans=346886960 dtans=22837815
l=14 r=19 ksm=1728 frac2=10395 ans=364849520 dtans=17962560
l=13 r=19 ksm=1331 frac2=10395 ans=378685265 dtans=13835745
l=12 r=19 ksm=10000 frac2=945 ans=388135265 dtans=9450000
l=11 r=19 ksm=6561 frac2=945 ans=394335410 dtans=6200145
l=10 r=19 ksm=32768 frac2=105 ans=397776050 dtans=3440640
l=9 r=19 ksm=16807 frac2=105 ans=399540785 dtans=1764735
l=8 r=19 ksm=46656 frac2=15 ans=400240625 dtans=699840
l=7 r=19 ksm=15625 frac2=15 ans=400475000 dtans=234375
l=6 r=19 ksm=16384 frac2=3 ans=400524152 dtans=49152
l=5 r=19 ksm=2187 frac2=3 ans=400530713 dtans=6561
l=4 r=19 ksm=256 frac2=1 ans=400530969 dtans=256
l=3 r=19 ksm=1 frac2=1 ans=400530970 dtans=1l=17 r=18 ksm=196 frac2=135135 ans=427017430 dtans=26486460
l=16 r=18 ksm=169 frac2=135135 ans=449855245 dtans=22837815
l=15 r=18 ksm=1728 frac2=10395 ans=467817805 dtans=17962560
l=14 r=18 ksm=1331 frac2=10395 ans=481653550 dtans=13835745
l=13 r=18 ksm=10000 frac2=945 ans=491103550 dtans=9450000
l=12 r=18 ksm=6561 frac2=945 ans=497303695 dtans=6200145
l=11 r=18 ksm=32768 frac2=105 ans=500744335 dtans=3440640
l=10 r=18 ksm=16807 frac2=105 ans=502509070 dtans=1764735
l=9 r=18 ksm=46656 frac2=15 ans=503208910 dtans=699840
l=8 r=18 ksm=15625 frac2=15 ans=503443285 dtans=234375
l=7 r=18 ksm=16384 frac2=3 ans=503492437 dtans=49152
l=6 r=18 ksm=2187 frac2=3 ans=503498998 dtans=6561
l=5 r=18 ksm=256 frac2=1 ans=503499254 dtans=256
l=4 r=18 ksm=1 frac2=1 ans=503499255 dtans=1l=16 r=17 ksm=1728 frac2=10395 ans=521461815 dtans=17962560
l=15 r=17 ksm=1331 frac2=10395 ans=535297560 dtans=13835745
l=14 r=17 ksm=10000 frac2=945 ans=544747560 dtans=9450000
l=13 r=17 ksm=6561 frac2=945 ans=550947705 dtans=6200145
l=12 r=17 ksm=32768 frac2=105 ans=554388345 dtans=3440640
l=11 r=17 ksm=16807 frac2=105 ans=556153080 dtans=1764735
l=10 r=17 ksm=46656 frac2=15 ans=556852920 dtans=699840
l=9 r=17 ksm=15625 frac2=15 ans=557087295 dtans=234375
l=8 r=17 ksm=16384 frac2=3 ans=557136447 dtans=49152
l=7 r=17 ksm=2187 frac2=3 ans=557143008 dtans=6561
l=6 r=17 ksm=256 frac2=1 ans=557143264 dtans=256
l=5 r=17 ksm=1 frac2=1 ans=557143265 dtans=1l=15 r=16 ksm=10000 frac2=945 ans=566593265 dtans=9450000
l=14 r=16 ksm=6561 frac2=945 ans=572793410 dtans=6200145
l=13 r=16 ksm=32768 frac2=105 ans=576234050 dtans=3440640
l=12 r=16 ksm=16807 frac2=105 ans=577998785 dtans=1764735
l=11 r=16 ksm=46656 frac2=15 ans=578698625 dtans=699840
l=10 r=16 ksm=15625 frac2=15 ans=578933000 dtans=234375
l=9 r=16 ksm=16384 frac2=3 ans=578982152 dtans=49152
l=8 r=16 ksm=2187 frac2=3 ans=578988713 dtans=6561
l=7 r=16 ksm=256 frac2=1 ans=578988969 dtans=256
l=6 r=16 ksm=1 frac2=1 ans=578988970 dtans=1l=14 r=15 ksm=32768 frac2=105 ans=582429610 dtans=3440640
l=13 r=15 ksm=16807 frac2=105 ans=584194345 dtans=1764735
l=12 r=15 ksm=46656 frac2=15 ans=584894185 dtans=699840
l=11 r=15 ksm=15625 frac2=15 ans=585128560 dtans=234375
l=10 r=15 ksm=16384 frac2=3 ans=585177712 dtans=49152
l=9 r=15 ksm=2187 frac2=3 ans=585184273 dtans=6561
l=8 r=15 ksm=256 frac2=1 ans=585184529 dtans=256
l=7 r=15 ksm=1 frac2=1 ans=585184530 dtans=1l=13 r=14 ksm=46656 frac2=15 ans=585884370 dtans=699840
l=12 r=14 ksm=15625 frac2=15 ans=586118745 dtans=234375
l=11 r=14 ksm=16384 frac2=3 ans=586167897 dtans=49152
l=10 r=14 ksm=2187 frac2=3 ans=586174458 dtans=6561
l=9 r=14 ksm=256 frac2=1 ans=586174714 dtans=256
l=8 r=14 ksm=1 frac2=1 ans=586174715 dtans=1l=12 r=13 ksm=16384 frac2=3 ans=586223867 dtans=49152
l=11 r=13 ksm=2187 frac2=3 ans=586230428 dtans=6561
l=10 r=13 ksm=256 frac2=1 ans=586230684 dtans=256
l=9 r=13 ksm=1 frac2=1 ans=586230685 dtans=1l=11 r=12 ksm=256 frac2=1 ans=586230941 dtans=256
l=10 r=12 ksm=1 frac2=1 ans=586230942 dtans=1458729432