平面图最小割与对偶图最短路 - 干

平面图

即所有边都不相交的图。
例：

对偶图

将平面图中的面转为点，每条边连接其左右的两个面，一个朴素的例子：

其对偶图为：

对偶图最短路

所以对偶图与最小割有什么关系呢？
在最小割问题中，我们经常会遇到面对平面图的最小割问题，但如果我们使用Dinic算法，\(O(n^2m)\) 的复杂度能让你当场AFO，此时就需要使用对偶图最短路了。

例：P2046 [NOI2010] 海拔
首先很显然，每个点的海拔高度只有可能是0或1，且肯定是左上部分是0，右下部分是1，显然是最小割。
但数据范围不支持我们用Dinic算法。
再进行观察，发现两端点海拔不同的边必然能形成一个路径，且路径两端不会同时位于左和下/右和上。
例：

既如此，我们不妨将外部的面由左上到右下分割为二，对原来的每个边，我们令其顺时针旋转90度，代表从0走到1，即：

然后再跑一遍dijkstra就行啦。