1.

U612392 追忆

是一个小技巧

考虑在序列中尽量向前匹配，在那个位置计数

然后发现要求是对于一个元素，在其前面的元素与其之间的空隙不能有这个字符

所以可以枚举结尾位置

通过 $\sum _{i = 0}^n \binom{i - n - 1}{n - 1} \times 26^{n + k - i} \times 25^{i - n} $

简单计算即可

2.

P11390 [COCI 2024/2025 #1] 教师 / Učiteljica

想到枚举右端点，然后统计和法左端点

$k = 1$

维护每种数的合法区间

然后相当于求非零位置和

是区间加和非 0 位置个数

把右端点看成 x 轴，合法左端点放到 y 轴上，其实就是一个简单的扫描线模版，不用离散化

有两种解决方案

维护最小值及其个数
维护区间覆盖次数

我写的第一种

$k > 1$

考虑其实是要求每种 k 都出现，相当于是求交集，不好写，转换成求并集容斥就行

复杂度 $O(2^k \times k \times n \log n)$

这个容斥的原理和并集转换是一样的

用二项式定理可以简单证明

3.

P4922 [MtOI2018] 崩坏3？非酋之战！

前言

这是一篇 $O(n)$ 的题解

NOIP 模拟赛放了这道题目

个人认为还是较为简单的

赛时思路完整推导

读完题目，发现没有关于时间的最优化，所以可以发现其实技能的很大一部分是被其他技能单调的

闪避不如大招
爱酱的炸弹不如技能
犹大的誓约不如大招

其实时间暂停和减速都是 buff 在打伤害

奥托之光由于清除 buff，没用
律者之力不如大招

所以其实有用的技能只有 3 个

大招用于时间暂停 5s
技能用于获得 1 层燃烧 buff
分支攻击用于减速

此时设 dp[i][j] 表示当前有 $i$ 层燃烧 buff ， $j$ 层减速的最大攻击值

直接每次转移三个技能就是 $O(n^3)$

for(int j = 0;j <= i;j ++) {for(int k = 0;k <= i - j;k ++) {if(f[j][k] == -inf) continue;int h = f[j][k] + (j + 1) * k * atk;g[j][k] = max(g[j][k] , h + 5 * k * atk + 12 * atk);g[j + 1][k] = max(g[j + 1][k] , h + 7 * atk);g[j][k + 1] = max(g[j][k + 1] , h + 8 * atk);}
}

然后 $n^2$ 的解法就是通过分析大招与技能 / 大招与分支攻击的最优相对关系

（可以自己设当前有几层燃烧 buff和减速 buff ，然后列关系式）

分析出大招在最后更优

这样 dp 过程中只需要维护两个 buff , 然后每次最后的大招伤害可以 $O(1)$ 计算

复杂度到了 $O(n^2)$,已经可以通过了

然而我们可以继续剖析题目性质

我有两个猜测

三个技能是有顺序的，大概为燃烧，减速，大招
当 n 很大时显然主要靠燃烧 buff 打伤害

想到这里时 ~~我们不想思考，可以打个表~~

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;template <typename T>
void _debug(const T& t) { std::cerr << t << '\n'; }
template <typename T, typename... Args>
void _debug(const T& t, const Args&...res) { std::cerr << t << ' '; _debug(res...); }
#define debug(...) _debug(#__VA_ARGS__ " =", __VA_ARGS__)const int N = 1e4 + 10 , inf = 1e18;
int n , hp , atk;
int f[1010][1010] , g[1010][1010] , pr[200][200][200];
void fa(int i) {debug(f[0][0]);int x = 0 , y = 0;for(int j = 0;j <= i;j ++)for(int k = 0;k <= i - j;k ++) if(f[j][k] > f[x][y]) x = j , y = k;debug(x , y , f[x][y]);for(int j = i;j >= 1;j --) {debug(j , x , y , pr[j][x][y]);if(pr[j][x][y] == 2) x --;else if(pr[j][x][y] == 3) y --;else if(!pr[j][x][y]) { cout << "WAWAWA---\n"; exit(0); }}
}signed main() {
//	freopen("c1.in","r",stdin);
//	freopen("c.out","w",stdout);cin >> n >> hp >> atk; atk /= 10;for(int j = 0;j <= n;j ++)for(int k = 0;k <= n;k ++) g[j][k] = -inf;g[0][0] = 0;for(int i = 0;i <= n;i ++) {int mx = 0;for(int j = 0;j <= i;j ++)for(int k = 0;k <= i - j;k ++) f[j][k] = g[j][k] , mx = max(mx , f[j][k]);if(mx >= hp) { fa(i); cout << i << '\n' << "LeiZeProMax Nb!!!"; return 0; }if(i == n) { fa(i); cout << mx << '\n' << "hks"; return 0; }for(int j = 0;j <= i + 1;j ++)for(int k = 0;k <= i + 1 - j;k ++) g[j][k] = -inf;if(i == 30) debug(f[15][15] , g[15][15]);for(int j = 0;j <= i;j ++) {for(int k = 0;k <= i - j;k ++) {if(f[j][k] == -inf) continue;int h = f[j][k] + (j + 1) * k * atk;if(h + 5 * k * atk + 12 * atk >= g[j][k]) pr[i + 1][j][k] = 1;g[j][k] = max(g[j][k] , h + 5 * k * atk + 12 * atk);if(h + 7 * atk >= g[j + 1][k]) pr[i + 1][j + 1][k] = 2;g[j + 1][k] = max(g[j + 1][k] , h + 7 * atk);if(i == 29 && j == 14 && k == 15) debug(g[j + 1][k] , pr[i + 1][j + 1][k]);if(h + 8 * atk >= g[j][k + 1]) pr[i + 1][j][k + 1] = 3;g[j][k + 1] = max(g[j][k + 1] , h + 8 * atk);if(i == 29 && j == 15 && k == 14) debug(g[j][k + 1] , pr[i + 1][j][k + 1]);}}}return 0;
}

打出来发现

看最后一列是转移点

发现是燃烧减速交错 ?

不对结尾处不同，多打几个发现最后 10 个其实是固定的

所以程序告诉我们答案是先燃烧减速交错，后 10 个直接叠 5 层减速，最后 5 个用大招

分析原因的话用上面第二个猜测，我们可以考虑只 buff 的伤害，设当前有 x 层减速, y 层燃烧

则下一次打的伤害即为 $x \times y$ ，由初中奥数可得，当 $x + y$ 一定， $x = y$ 时 $x \times y$ 最大

所以可得大部分是减速燃烧交错叠加

至于最后的特殊情况，其实也是好感性考虑的

减速其时是为后面每一次都增加 1 秒的攻击事件，是永久的

而大招暂停 5 秒是为当前轮增加 5 秒的攻击事件，是暂时的

从长远来看，我们当然是选择减速，但当后缀攻击次数小于 5 时，暂时性的大招反而具有优势

大招前叠 5 次燃烧，其实也是为了和后面的大招凑平方数

所以如果大招暂停时间更长，其后面的特殊情况的长度也会对应线性增长

至此就没了

代码

代码直接按上面的结论打即可，应该挺短的，注意长度不足 10 的情况

跑到了最优解，不卡常比非线性做法第一名快了 5 倍，~~线性做法不就应该比平方做法快吗？~~

下面是我赛时代码，可以参考结构？

注意输出的字符串不同

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;template <typename T>
void _debug(const T& t) { std::cerr << t << '\n'; }
template <typename T, typename... Args>
void _debug(const T& t, const Args&...res) { std::cerr << t << ' '; _debug(res...); }
#define debug(...) _debug(#__VA_ARGS__ " =", __VA_ARGS__)const int N = 1e4 + 10 , inf = 1e18;
int n , hp , atk;
int f[1010][1010] , g[1010][1010];
int col[N];
bool check(int x , int y , int mx) {for(int i = 1;i <= 5;i ++) {mx += (x + 1) * y * atk + 8 * atk , y ++;if(mx >= hp) return 1;}for(int i = 1;i <= 5;i ++) {mx += (x + 6) * y * atk + 12 * atk;if(mx >= hp) return 1;}return 0;
}
void dp(int len) {for(int j = 0;j <= len;j ++)for(int k = 0;k <= len;k ++) g[j][k] = -inf;g[0][0] = 0;for(int i = 0;i <= len;i ++) {int mx = 0;for(int j = 0;j <= i;j ++)for(int k = 0;k <= i - j;k ++) f[j][k] = g[j][k] , mx = max(mx , f[j][k]);if(mx >= hp) { cout << i << '\n' << "Tech Otakus Save The World!"; exit(0); }for(int j = 0;j <= i + 1;j ++)for(int k = 0;k <= i + 1 - j;k ++) g[j][k] = -inf;for(int j = 0;j <= i;j ++) {for(int k = 0;k <= i - j;k ++) {if(f[j][k] == -inf) continue;int h = f[j][k] + (j + 1) * k * atk;g[j][k] = max(g[j][k] , h + 5 * k * atk + 12 * atk);g[j + 1][k] = max(g[j + 1][k] , h + 7 * atk);g[j][k + 1] = max(g[j][k + 1] , h + 8 * atk);}}}
}signed main() {cin >> n >> hp >> atk; atk /= 10;if(!hp) { cout << 0 << '\n' << "Tech Otakus Save The World!"; return 0; }if(n <= 300) {for(int j = 0;j <= n;j ++)for(int k = 0;k <= n;k ++) g[j][k] = -inf;g[0][0] = 0;for(int i = 0;i <= n;i ++) {int mx = 0;for(int j = 0;j <= i;j ++)for(int k = 0;k <= i - j;k ++) f[j][k] = g[j][k] , mx = max(mx , f[j][k]);if(mx >= hp) { cout << i << '\n' << "Tech Otakus Save The World!"; return 0; }if(i == n) { cout << mx << '\n' << "MiHoYo Was Destroyed!"; return 0; }for(int j = 0;j <= i + 1;j ++)for(int k = 0;k <= i + 1 - j;k ++) g[j][k] = -inf;for(int j = 0;j <= i;j ++) {for(int k = 0;k <= i - j;k ++) {if(f[j][k] == -inf) continue;int h = f[j][k] + (j + 1) * k * atk;g[j][k] = max(g[j][k] , h + 5 * k * atk + 12 * atk);g[j + 1][k] = max(g[j + 1][k] , h + 7 * atk);g[j][k + 1] = max(g[j][k + 1] , h + 8 * atk);}}}return 0;}else {dp(10);for(int i = 1;i <= n - 10;i ++) {if(i & 1) col[i] = 3;else col[i] = 2;}for(int i = n - 9;i <= n - 5;i ++) col[i] = 3;for(int i = n - 4;i <= n;i ++) col[i] = 1;int x = 0 , y = 0 , mx = 0;for(int i = 1;i <= n;i ++) {int adv = 0;if(col[i] == 1) adv = (x + 6) * y * atk + 12 * atk;else if(col[i] == 2) adv = (x + 1) * y * atk + 7 * atk , x ++;else adv = (x + 1) * y * atk + 8 * atk , y ++;if(mx >= hp - adv) break;mx = mx + adv;if(i == n) { cout << mx << '\n' << "MiHoYo Was Destroyed!"; return 0; }}x = 0 , y = 0 , mx = 0;for(int i = 1;i <= n - 10;i ++) {
//			debug(x , y , mx , check(x , y , mx));int adv = 0;if(i & 1) adv = (x + 1) * y * atk + 8 * atk , y ++;else adv = (x + 1) * y * atk + 7 * atk , x ++;mx += adv;if(check(x , y , mx)) { cout << i + 10 << '\n' << "Tech Otakus Save The World!"; return 0; }
//			debug(i , mx);}
//		cout << "hhh";}return 0;
}