题解：P10104 [GDKOI2023 提高组] 异或图

题意：给定一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图和一个长度为 \(n\) 的数组 \(a_1, a_2, \cdots , a_n\) 以及一个整数 \(C\)，你需要求出有多少个长度为 \(n\) 的数组 \(b\) 满足：

1. \(0 ≤ b_i ≤ a_i,\forall 1 ≤ i ≤ n\)。
2. 对于每条边 \((u, v)\)，\(b_u \ne b_v\)。
3. \(b_1 ⊕ b_2 ⊕ \cdots ⊕ b_n = C\)，其中 \(\oplus\) 代表异或。

做法：

首先先要会做 \(m=0\)，那么我们可以在后面加一个元素 \(a_{n+1}=C\) 算出异或和为 \(0\) 方案数，然后再改成 \(a_{n+1}=C-1\) 算出方案数，做差即是原题要求的。

怎么求异或和为 \(0\) 的方案数？其实是 这个题，可以见我在这个题的 题解。

然后考虑 \(m\not = 0\)，看到有互异这个限制，很自然地直接容斥，考虑每次加入一个相等的连通块，那么容斥系数就应该是导出子图的 \(\sum\limits_{E'\in E}(-1)^{|E'|}\)，观察到这个柿子在 \(|E'| \ge 1\) 的时候为 \(0\)，所以只需要独立集即可，总的系数就是枚举一个包含 \(1\) 的连通块划分出去然后去计算即可。

然后考虑，如果划分的是一个偶数大小的连通块，那么这个连通块怎么划都可以，方案数为连通块最小值 \(+1\) 种方式；如果是奇数大小的，那么就需要跑我们开始的那个东西，全部乘起来的到贡献，可以做到贝尔数的复杂度。

但是我们考虑可以直接在加入连通块的时候记录最小值，这样可以做到 \(4^n\)，但是还是不够快。

我们这里做一个简单的优化，我们把所有数按 \(a\) 排个序，同时集合里对于 \(\le i\) 的位，我们只记录他是否是作为最小值加入奇连通块的，而大于的就记录是否已经被加入集合。具体的，在转移的时候我们考虑 \(i\) 是否在我们枚举的集合中，如果在，那么就意味着他是通过以前被加入的，那么贡献时直接把这一位变成 \(0\) 即可；然后考虑他是最小值，如果是偶连通块，直接乘上贡献，并且加入 \(>i\) 的点，\(i\) 这一位保持 \(0\)，奇连通块则变为 \(1\)，可以见代码实现。这样我们就可以很方便地在最后直接拉出来哪些是需要的，复杂度是 \(O(3^nn)\)。

最后再对跑出来的那些有用点集去跑 \(m=0\) 的做法就可以了，总复杂度 \(O(3^nn)\)。

因为 \(a\) 可以到达 \(10^{18}\)，记得取模。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 2e5 + 5, inf = 2e9, mod = 998244353;
int n, m, c, val[maxn], coef[maxn], a[maxn];
int dp[20][2][2];
int cal(vector<int> v) {int ans = 0, s = 0;for (int i = 1; i < v.size(); i++)s ^= v[i];ans += (!s); s = 0;for (int d = 60; d >= 0; d--) {memset(dp, 0, sizeof(dp));dp[0][0][0] = 1;s = 0;int all = (1ll << d) - 1;for (int i = 1; i < v.size(); i++) {s ^= (v[i] >> d + 1);int t = ((v[i] >> d) & 1);if(!t) {for (int x = 0; x <= 1; x++)for (int y = 0; y <= 1; y++)dp[i][x][y] = dp[i - 1][x][y] * (((v[i] & all) + 1) % mod) % mod;}else {dp[i][0][0] = dp[i - 1][1][0] * (((v[i] & all) + 1) % mod) % mod;dp[i][1][0] = dp[i - 1][0][0] * (((v[i] & all) + 1) % mod) % mod;dp[i][0][1] = (dp[i - 1][1][1] * (((v[i] & all) + 1) % mod) % mod + dp[i - 1][0][1] * ((all + 1) % mod) % mod + dp[i - 1][0][0]) % mod;dp[i][1][1] = (dp[i - 1][0][1] * (((v[i] & all) + 1) % mod) % mod + dp[i - 1][1][1] * ((all + 1) % mod) % mod + dp[i - 1][1][0]) % mod;}}if(!s)ans = (ans + dp[v.size() - 1][0][1]) % mod;}return ans;
}
int solve(vector<int> v) {v.push_back(c);int ans = cal(v);if(c == 0)return ans;v[v.size() - 1]--;
//	cout << ans << " " << cal(v) << "Adsf" << endl;return (ans - cal(v) + mod) % mod;
}
int dpt[2][maxn], id[maxn], p[maxn];
bool cmp(int x, int y) {return a[x] < a[y];
}
int lowbit(int x) {return x & (-x);
}
int cnt[maxn];
signed main() {cin >> n >> m >> c;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i], p[i] = i;sort(p + 1, p + n + 1, cmp);sort(a + 1, a + n + 1);for (int i = 1; i <= n; i++)id[p[i]] = i;for (int i = 1; i <= m; i++) {int x, y; cin >> x >> y;x = id[x], y = id[y];int s = (1 << x - 1) | (1 << y - 1);for (int t = 0; t < (1 << n); t++)if((s & t) == s)val[t]++;}for (int s = 0; s < (1 << n); s++)val[s] = !val[s], cnt[s] = cnt[s >> 1] + (s & 1);dpt[0][0] = 1;int cur = 0;for (int s = 0; s < (1 << n); s++) {coef[s] = val[s];int lb = lowbit(s);for (int t = (s - 1) & s; t; t = (t - 1) & s) {if((t & lb) == lb)coef[s] = (coef[s] - coef[t] * val[s ^ t] % mod + mod) % mod;}//	cout << s << " " << coef[s] << endl;}for (int i = 1; i <= n; i++) {cur ^= 1, memset(dpt[cur], 0, sizeof(dpt[cur]));for (int s = 0; s < (1 << n); s++) {if(!dpt[cur ^ 1][s])continue;if((s >> i - 1) & 1) {dpt[cur][s ^ (1 << i - 1)] = (dpt[cur][s ^ (1 << i - 1)] + dpt[cur ^ 1][s]) % mod;continue;}int res = (((1 << n) - 1) ^ ((1 << i) - 1));//	cout << res << endl;res = res ^ (s & res);for (int t = res; ; t = (t - 1) & res) {int u = (t | (1 << i - 1));if(cnt[u] & 1)dpt[cur][s | u] = (dpt[cur][s | u] + dpt[cur ^ 1][s] * coef[u] % mod) % mod;elsedpt[cur][s | t] = (dpt[cur][s | t] + dpt[cur ^ 1][s] * coef[u] % mod * ((a[i] + 1) % mod) % mod) % mod;if(!t)break;}//	cout << dpt[cur][9] << " " << dpt[cur ^ 1][s] << " " << s << " " << res << " " << (s | res) << "Adsf" << endl;}
//		for (int s = 0; s < (1 << n); s++)
//			cout << dpt[cur][s] << " " << i << " " << s << endl;}int ans = 0;for (int i = 0; i < (1 << n); i++) {vector<int> nw; nw.push_back(0);for (int j = 1; j <= n; j++)if((i >> j - 1) & 1)nw.push_back(a[j]);//	cout << i << " " << solve(nw) << " " << dpt[cur][i] << endl;ans = (ans + solve(nw) * dpt[cur][i] % mod) % mod;}cout << ans << endl;return 0;
}