[THUWC 2018] 字胡串

只需要使用 Z 函数的单 \(\log\) 解法，不依赖于字符集大小。

考虑固定 \(B\)，比较从 \(x, y\) 插入谁更优（\(x < y\)）。删除掉公共的前后缀可知等价于比较 \(B + A_{x + 1 \sim y}\) 和 \(A_{x + 1 \sim y} + B\) 的字典序。

有一个经典结论：比较 \(A + B\) 和 \(B + A\) 的字典序，等价于比较 \(A^{+\infty}\) 和 \(B^{+\infty}\) 的字典序。

证明：考虑用比较 \(c = |\Sigma| + 1\) 进制小数来表示比较字典序。设 \(A, B\) 对应的小数分别为 \(a, b\)（\(0 \leq a, b < 1\)）。则 \(A + B < B + A\) 当且仅当 \(a + \frac b {c^{|a|}} < b + \frac a {c^{|b|}}\)，当且仅当 \(a \times \frac {c^{|a|}} {c^{|a|} - 1} < b \times \frac {c^{|b|}} {c^{|b|} - 1}\)，当且仅当 \(A^{+\infty} < B^{+\infty}\)。

所以，\(x\) 比 \(y\) 优当且仅当 \(B^{+\infty} \leq A_{x + 1 \sim y}^{+\infty}\)。

考虑如果对 \(B^{+\infty}\) 扫描线，则答案单调不降。考虑先把询问按照 \(B^{+\infty}\) 排序，再决策单调性分治。问题转化为求单组询问的答案。如果可以 \(\mathcal O(|A| + |B|)\) 解决单组询问，那整个问题的复杂度就是单 \(\log\)。

考虑如何高效地比较 \(B + A_{x + 1 \sim y}\) 和 \(A_{x + 1 \sim y} + B\) 的字典序。如果 \(y - x < |B|\)，那么问题比较容易解决：先比较 \(B_{1 \sim y - x}\) 和 \(A_{x + 1 \sim y}\)，预处理 \(B + \texttt{\#} + A\) 的 Z 函数后可以 \(\mathcal O(1)\) 判断；如果相等，再比较 \(B_{y - x + 1 \sim |B|}\) 和 \(B_{1 \sim |B| - (y - x)}\)，同样可以 \(\mathcal O(1)\) 判断；如果还相等，最后比较 \(A_{x + 1 \sim y} = B_{1 \sim y - x}\) 和 \(B_{|B| - (y - x) + 1 \sim |B|}\)，仍然可以 \(\mathcal O(1)\) 判断。

如果 \(y - x \geq |B|\)，设 \(A_{x + 1 \sim y} = B^k C\)，其中 \(B\) 不是 \(C\) 的前缀，则问题等价于比较 \(B + C\) 和 \(C + B\) 的字典序，仍然可以使用 \(y - x < |B|\) 的情况的方法解决。至于如何求出 \(k\)，双指针即可。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;#define rep(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); ++i)
#define sz(x) (int)(x).size()
using ll = long long;const int N = 1e6 + 10;
int n, q;
string a;
pair<string, int> qry[N];
int ans[N];int z[2 * N];void get_z(const string &s) {int l, r = 1;rep(i, 2, sz(s) - 1) {if(i <= r && z[i - l + 1] <= r - i) {z[i] = z[i - l + 1];continue;}z[i] = max(0, r - i + 1);while(s[z[i] + 1] == s[z[i] + i]) ++z[i];}
}bool cmp(const string &b, int lo, int x, int y) {int len = sz(b) - 1;int t = z[sz(b) + x - lo + 1];if(t < min(y - x, len)) return b[t + 1] < a[x + t + 1];assert(y - x < len);t = z[y - x + 1];if(t < len - (y - x)) return b[y - x + t + 1] < b[t + 1];t = z[len - (y - x) + 1];if(t < y - x) return b[t + 1] < b[len - (y - x) + t + 1];return true;
}void solve(int l, int r, int lo, int hi) {if(l > r) return;int mid = (l + r) >> 1;string b = " " + qry[mid].first;get_z(b + "#" + a.substr(lo + 1, hi - lo));int len = sz(b) - 1;int res = lo, j = lo;rep(i, lo + 1, hi) {if(i - j >= len && z[sz(b) - lo + j + 1] >= len) j += len;if(j < i && !cmp(b, lo, j, i)) res = j = i;}ans[qry[mid].second] = res;solve(l, mid - 1, lo, res);solve(mid + 1, r, res, hi);
}int main() {cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);cin >> n >> q >> a, a = " " + a;rep(i, 1, q) {cin >> qry[i].first;qry[i].second = i;}sort(qry + 1, qry + q + 1, [&](auto x, auto y) -> bool {return x.first + y.first < y.first + x.first;});solve(1, q, 0, n);rep(i, 1, q) cout << ans[i] << "\n";
}