前言：
复习一下数论（部分）
裴蜀定理
结论：
\(∀a,b∈Ζ\)，设\(d=gcd(a,b)\) ，则\(∃x,y\)使得\(ax+by=d\)
推论：
- \(ax+by=m\)有解，当且仅当\(d|m\)
- 若\(gcd(a,b)=1\)，则存在\(x,y\)使得\(ax+by=1\)
- 对于\(n\)个数\(a_1,a_1,...a_n\)设\(d=gcd\{a_1,a_2,..a_n\}\)，则方程$a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... +a_n x_n =m $ 有解，当且仅当\(d|m\)
扩展欧几里得（exgcd）
结论：
若\(x_0,y_0\)满足\(ax+by=d\)，则
\[ \left\{
\begin{matrix}x=x_0-\frac{b}{d}*k\\y=y_0+\frac{a}{d}*k\\
\end{matrix}
\right.
~~~~,k∈Ζ\]
的\(x,y\)也满足上式，
且这些\(x,y\)是所有可能的解
求解：
\[a ~ mod ~ b ~ = ~ a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor*b
\]
\[d=gcd(a,b) =gcd(b,a \% b) = (a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor*b)x+by
\]
\[d=ax+b(y-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor x)
\]
代码：
$code$
inline void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){if(!b) x=1,y=0;else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
应用：
- 求逆元
- 求解线性同余方程
中国剩余定理（CRT）
自己家的东西还是学学比较好，其实别家的也得学
求解方程
\[ \left\{
\begin{matrix}x ≡ ~ a_1 ~ (~ mod ~ m_1 ~ )\\x ≡ ~ a_2 ~ (~ mod ~ m_2 ~ )\\·\\·\\·\\x ≡ ~ a_n ~ (~ mod ~ m_n ~ )
\end{matrix}
\right.
\]
求解：
设 \(m=∏_{i=1}^n m_i,M_i=\frac{m}{m_i},t_i\) 满足 $M_i t_i≡1 ~ (mod ~ m_i) $
则\(ans=∑_{i=1}^n a_i M_i t_i\)
证明：
∵ \(M_i=\frac{m}{m_i}\)
∴ \(∀k≠i,M_i t_i ≡ 0 ~ ( ~ mod ~ m_i ~ )\) (因为\(M_i\)是除\(m_i\)以外的模数的倍数)
∵ $M_i t_i≡1 ~ ( ~ mod ~ m_i ~ ) $
∴ $ a_i M_i t_i ≡ a_i ~ ( ~ mod ~ m_i ~ )$
过程：
其实就是把\(n\)个方程经过\(n-1\)次合并，最后成为一个方程求解就好了。
首先提出两个方程
\[ \left\{
\begin{matrix}x ≡ ~ a_1 ~ (~ mod ~ m_1 ~ )\\x ≡ ~ a_2 ~ (~ mod ~ m_2 ~ )\\\end{matrix}
\right.
\]
将其转化为
\[ \left\{
\begin{matrix}x ≡ k_1 m_1+a_1\\x ≡ k_2 m_2+a_2\\\end{matrix}
\right.
\]
易得
\[ k_1 m_1 + a_1=k_2 m_2 + a_2
\]
整理得
\[ k_1 m_1 - k_2 m_2= a_2 - a_1
\]
然后用扩展欧几里得求出\(k_1\)和\(-k_2\)，当且仅当 \(gcd(m_1 , m_2) ~ | ~ a_2 - a_1\) 时有解。
设$$d=gcd(m_1 , m_2)$$
\[x=(k_1+k*\frac{m_2}{d})m_1+a_1
\]
\[=m_1 k_1+a_1+k*lcm
\]
设$$m_1 k_1= A,lcm=M$$
\[∴ ~ x = k M + A
\]
因此，
\[ \left\{
\begin{matrix}x ≡ ~ a_1 ~ (~ mod ~ m_1 ~ )\\x ≡ ~ a_2 ~ (~ mod ~ m_2 ~ )\\\end{matrix}
\right.
\]
合并为
\[~ x = k M + A
\]
在与下面的方程继续合并，最后合并为一个方程$$x = k M + A$$
此时，\(x\)的最小正整数解为 \(A ~ mod ~ M\) 的正余数。
代码：（【模板】中国剩余定理（CRT）/ 曹冲养猪）
$code$
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int __int128
const int N=20;
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-'0');ch=getchar();}return x*f;}
inline void write(int x){if(x<0)x*=-1,putchar('-');if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');return;}
int m=1,a[N],b[N],n,k,s;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){if(!b){x=1;y=0;return a;}int r=exgcd(b,a%b,x,y);int t=x;x=y;y=t-a/b*y;return r;
}
signed main(){n=read();for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=read();b[i]=read();m*=a[i];}for(int i=1;i<=n;i++){k=m/a[i];int x,y;exgcd(k,a[i],x,y);s=s+k*b[i]%m*x%m;}write((s%m+m)%m);return 0;
}
扩展中国剩余定理（exCRT）
...
扩展卢卡斯定理（exLucas）
...
