25-1010 从房间回声看懂离散卷积原理

Figure 1：直达声在 t = 0 的冲激

在房间内，假设在 t = 0 时刻有一个强度为 1 的冲激信号（蓝色）。
由于房间存在反射，当声音传播一段时间（例如 延迟 10 个时刻）后，会在 t = 10 左右接收到第一个反射声（红色）。
随着时间推移，反射声的强度按指数衰减（这里用 exp(-at) 表示），这条红色曲线便是房间的冲激响应（Impulse Response），它描述了系统对单位冲激的全部响应。

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Figure 2：直达声在 t = 5，强度为 0.8 的冲激

同理，当冲激信号（蓝色）延迟到 t = 5 时刻出现，强度为 0.8，
房间的反射声也相应延迟了 10 个时刻，在 t = 15 附近 才开始出现，且强度衰减到原来的 0.8 倍。
这说明系统是线性时不变的（LTI）：延迟输入信号的时间，也只会让响应整体延迟相同的时间。

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Figure 3：叠加两个冲激的响应

当两个冲激（t = 0 的蓝色脉冲和 t = 5 的蓝色脉冲）同时存在时，
系统的总响应就是这两个单独冲激响应的线性叠加（左图）。

得到的房间反射声（下图红色）即输入信号（左上图）与房间脉冲响应（右上图）卷积的结果：

这正是卷积的核心思想：

系统的输出 = 输入信号的每个冲激 × 系统对冲激的响应，再全部叠加。

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Figure 4：随机激励信号 u[n]

现在我们不再输入单一冲激，而是输入一段 t = 0 ~ 15 的复杂随机信号（蓝色）。
可以把它看成由许多不同时刻、不同幅度的小冲激组成的序列。
每个小冲激都会激发出一个“缩放后、延迟后”的房间冲激响应，所有这些响应叠加起来，形成完整的输出信号。

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Figure 5：手动叠加卷积 vs MATLAB conv函数

我们将随机信号拆分成若干个单位冲激，对每个冲激与 h[n] 卷积后叠加，得到手动卷积结果（第三个图蓝色）。
然后再用 MATLAB 内置的 conv 函数计算标准离散卷积（第三个图红色虚线）。
两者完全重合，验证了“逐个冲激叠加”的卷积定义确实与数学公式一致。
这就是卷积的本质：

输入信号中每个采样值，都会触发一个对应的冲激响应，输出信号就是这些响应的叠加。

最终得到的红色曲线就是系统对复杂激励的输出信号 y[n]。
它等价于输入信号与房间冲激响应的卷积结果。
理解离散卷积后，再推广到连续时间，就能自然理解声学、信号处理中常见的卷积积分。

所有图的代码如下：

clear; clc;%% ================== 回声模拟 1：直达声在 t=0 ==================
n1 = 0:40;                  % 时间索引
u1 = zeros(size(n1));       % 原始信号
u1(1) = 1;                  % 直达声在 t=0% 回声参数
echo_delay1 = 10;           % 回声延迟
echo_start1 = echo_delay1 + 1;     % 回声开始时间索引
echo_amp1 = max(u1);        % 回声初始强度
a1 = 0.5;                   % 衰减系数% 添加回声
y1 = u1;                    % 初始化输出
for t = echo_start1:length(n1)-1y1(t+1) = y1(t+1) + echo_amp1 * exp(-a1 * (t - echo_start1));
end% 绘图
figure;
stem(n1, u1, 'filled'); hold on;         % 直达声
stem(n1, y1 - u1, 'filled'); hold off;   % 回声
xlabel('Time index n');
ylabel('Amplitude');
axis([-5 40 0 1.2]);
title('Impulse at t = 0 with echo delayed 10');
legend('Impulse', 'Echo');%% ================== 回声模拟 2：直达声在 t=5，强度为 0.8 ==================
n2 = 0:40;                  % 时间索引
u2 = zeros(size(n2));       % 原始信号
T = 5;                      % 直达声时间
u2(T+1) = 0.8;              % MATLAB 索引从 1 开始% 回声参数
echo_delay2 = 10;           % 回声延迟
echo_start2 = T + echo_delay2 + 1;    % 回声开始时间索引
echo_amp2 = 0.8;            % 回声初始强度
a2 = 0.5;                   % 衰减系数% 添加回声
y2 = u2;                    % 初始化输出
for t = echo_start2:length(n2)-1y2(t+1) = y2(t+1) + echo_amp2 * exp(-a2 * (t - echo_start2));
end% 绘图
figure;
stem(n2, u2, 'filled'); hold on;        % 直达声
stem(n2, y2 - u2, 'filled'); hold off;  % 回声
xlabel('Time index n');
ylabel('Amplitude');
axis([-5 40 0 1.2]);
title(['Impulse at t = ', num2str(T), ' with echo delayed 10']);
legend('Impulse', 'Echo');%% ================== 回声模拟 3：叠加信号（t=0 与 t=5） ==================
% 将两组激励与回声叠加
n_total = n1;               % 时间索引一致
u_total = u1 + u2;          % 叠加直达声
y_total = y1 + y2;          % 叠加回声响应% 绘图
figure;
stem(n_total, u_total, 'filled'); hold on;           % 总直达声
stem(n_total, y_total - u_total, 'filled'); hold off;% 总回声
xlabel('Time index n');
ylabel('Amplitude');
axis([-5 40 0 1.2]);
title('Combined impulses at t = 0 and t = 5 with echoes delayed 10');
legend('Combined Impulses', 'Combined Echoes');% 绘图
figure;
stem(n_total, y1 - u1, 'filled'); hold on;           % 总直达声
xlabel('Time index n');
ylabel('Amplitude');
axis([-5 40 0 1.2]);
title('Impulse response');%% ================== 回声模拟 4：随机信号卷积验证 ==================T = 15;                              % 信号长度为 T+1
n3 = 0:T;                           % 时间索引
u_rand = abs(randn(1, length(n3))); % 随机输入信号（非负）figure;
stem(n3, u_rand, 'filled'); hold on;           % 总直达声
xlabel('Time index n');
ylabel('Amplitude');
axis([-5 40 0 3]);
title('Stimulus');% ===== 假设系统的冲激响应 h[n]（可替换为真实测得的 y1-u1） =====
% 这里举例假设冲激响应从第10个采样开始
h = y1 - u1;   % 延迟10采样，模拟“第一个回声在T+10时刻出现”
Lh = length(h);% ===== 手动卷积：逐个冲激叠加 =====
y_manual = zeros(1, length(u_rand) + Lh - 1);  % 预分配输出长度
for n = 1:length(u_rand)% 当前冲激输入信号（只有一个采样非零）delta = zeros(1, length(u_rand));delta(n) = u_rand(n);% 当前冲激响应的输出（延迟叠加）y_curr = conv(delta, h);% 累加所有冲激响应y_manual = y_manual + y_curr;
end% ===== 用 MATLAB 内置卷积函数验证 =====
y_conv = conv(u_rand, h);% ===== 绘图比较 =====
figure;
subplot(3,1,1);
stem(n3, u_rand, 'filled');
title('输入随机信号 u[n]');
xlabel('n'); ylabel('Amplitude');axis([-5 40 0 3.5]);subplot(3,1,2);
stem(0:length(h)-1, h, 'filled');
title('冲激响应 h[n] (第一个信号在 T+10 出现)');
xlabel('n'); ylabel('Amplitude');axis([-5 40 0 3.5]);subplot(3,1,3);
stem(0:length(y_manual)-1, y_manual, 'filled'); hold on;
stem(0:length(y_conv)-1, y_conv, 'r--');
legend('手动叠加结果','conv函数结果');
title('输出信号 y[n] 对比');
xlabel('n'); ylabel('Amplitude');
grid on;
axis([-5 40 0 3.5]);figure;
stem(0:length(y_manual)-1, y_manual, 'filled'); hold on;           % 总直达声
xlabel('Time index n');
ylabel('Amplitude');
axis([-5 40 0 3]);
title('Stimulus');