免费站推广网站2022,小微企业查询系统,磁力棒,企业网站制作需要多少费用前言 之前我们已经学习过了各种线性的数据结构#xff0c;顺序表、链表、栈、队列#xff0c;现在我们一起来了解一下一种非线性的结构----树 1.树的结构和概念 1.1树的概念 树是一种非线性的数据结构#xff0c;它是由n#xff08;n0#xff09;个有限结点组成一…前言 之前我们已经学习过了各种线性的数据结构顺序表、链表、栈、队列现在我们一起来了解一下一种非线性的结构----树 1.树的结构和概念 1.1树的概念 树是一种非线性的数据结构它是由nn0个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树也就是说它是根朝上而叶朝下的。 树是没有回路的。树这种数据结构与我们现实中的树有相似之处在逻辑结构上是树而在物理结构上他可能是数组是链表 1.2树的相关概念 树中有几个概念是我们必须要清楚的 节点的度一个节点含有的子树的个数称为该节点的度 如上图A的为6叶节点或终端节点度为0的节点称为叶节点 如上图B、C、H、I...等节点为叶节点非终端节点或分支节点度不为0的节点 如上图D、E、F、G...等节点为分支节点双亲节点或父节点若一个节点含有子节点则这个节点称为其子节点的父节点 如上图A是B的父节点孩子节点或子节点一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点 如上图B是A的孩子节点兄弟节点具有相同父节点的节点互称为兄弟节点 如上图B、C是兄弟节点树的度一棵树中最大的节点的度称为树的度 如上图树的度为6树的高度或深度树中节点的最大层次 如上图树的高度为4节点的祖先从根到该节点所经分支上的所有节点如上图A是所有节点的祖先子孙以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图所有节点都是A的子孙森林由mm1棵互不相交的树的集合称为森林   1.3树的表示 树最常用的是孩子兄弟表示法左孩子右兄弟 typedef int DataType; struct Node { struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点 DataType _data; // 结点中的数据域 };1.4树在实际中的运用 树结构在计算机科学中的应用非常广泛涉及数据存储与检索、排序算法、压缩算法、搜索算法、决策树、路径规划以及表达式求值等多个领域。 数据存储与检索 文件系统在操作系统中文件目录通常使用树形结构来组织其中每个目录都可以包含文件和子目录。这种结构使得文件访问变得高效且有序。 数据库索引许多数据库系统使用树形结构如B树来存储索引以提高数据的检索速度。例如MySQL数据库中的索引就是基于B树实现的。 排序算法 堆排序堆是一种特殊的完全二叉树其中每个父节点的值都大于或等于其子节点的值大顶堆或小于或等于其子节点的值小顶堆。堆排序算法利用堆的性质通过构建初始堆然后不断将堆顶元素最大或最小值与堆的末尾元素交换并重新调整堆从而实现对数组的排序。堆排序的时间复杂度为O(nlogn)是一种高效的排序算法。 压缩算法 哈夫曼编码哈夫曼树也称为最优二叉树是一种用于数据压缩的编码方法。它根据数据中字符出现的频率来构建树频率高的字符用较短的编码表示频率低的字符用较长的编码表示。哈夫曼编码广泛应用于文件压缩领域其压缩率通常在20%~90%之间。 搜索算法 二叉搜索树BST二叉搜索树是一种有序的二叉树其中每个节点的左子树只包含小于该节点值的元素右子树只包含大于该节点值的元素。二叉搜索树常用于实现快速的数据查找、插入和删除操作。然而当树不平衡时其性能会下降。为了解决这个问题引入了平衡二叉树如AVL树和红黑树它们通过旋转操作来保持树的平衡。 决策树 决策树是一种用于分类和回归的非参数监督学习方法。 它通过将数据集递归地划分为子集来构建树形结构每个内部节点表示一个属性上的测试每个分支代表一个测试输出每个叶节点代表一个类别或回归值。决策树广泛应用于数据挖掘、机器学习等领域。 路径规划 在图论和网络分析中树结构也用于路径规划。例如在寻找网络中的最短路径时可以使用生成树如最小生成树来简化问题。生成树是图的一个子集它包含了图中的所有顶点但只包含足够的边以形成一棵树。 表达式求值 在编译器和解释器中树结构如表达式树用于表示数学表达式和逻辑表达式。通过遍历表达式树可以计算出表达式的值。 2.空树 当树的节点数为0时这棵树就被称为空树。空树是树的特例具有一些独特的性质。 2.1空树的性质 节点数空树的节点数为0即它不包含任何节点。 高度或深度空树的高度或深度也为0因为没有节点所以不存在层级关系。 表示法在计算机科学中空树可以通过多种方式表示例如在二叉树中可以使用一个特殊的空指针如NULL来表示空树或空子树。 2.2空树的应用 虽然空树本身看似简单且没有实际的数据存储功能但它在数据结构和算法设计中扮演着重要角色。例如 初始化在创建新的树结构时通常需要从空树开始并逐步添加节点以构建所需的树。 边界条件在处理树相关的算法时空树是一个重要的边界条件。算法需要能够正确地处理空树的情况以避免错误或异常。 递归基础情况在使用递归算法处理树时空树通常作为递归的基础情况之一。当算法遇到空树时可以立即返回结果而无需进一步处理。 2.3示例 在C语言中可以使用结构体和指针来表示树和空树。例如对于二叉树可以定义如下结构体 typedef struct TreeNode {int val;struct TreeNode *left;struct TreeNode *right; } TreeNode; 在这个定义中left和right指针用于指向左子树和右子树。如果这两个指针都为NULL则表示该节点是叶子节点并且如果整棵树的根节点的指针也为NULL则表示这是一棵空树。 3.二叉树概念及结构 二叉树简单来说就是每个父亲下面最多只有两个节点的树一个是左儿子另一个是右儿子 注意 现实中的二叉树 3.1 特殊的二叉树 3.3.1满二叉树除了叶子节点剩下的节点都有俩个儿子 3.1.2完全二叉树前n-1层每个节点都有两个儿子最后一层叶子紧挨着排列。 满二叉树也是完全二叉树完全二叉树不一定是满二叉树。 像下图这种就不是完全二叉树 3.2二叉树的性质 若规定根节点的层数为1则一棵非空二叉树的第i层上最多有 个结点. 若规定根节点的层数为1则深度为h的二叉树的最大结点数是 . 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有 1若规定根节点的层数为1具有n个结点的满二叉树的深度 对于具有n个结点的完全二叉树如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号则对于序号为i的结点有 1. 若i0i位置节点的双亲序号(i-1)/2i0i为根节点编号无双亲节点 2. 若2i1n左孩子序号2i12i1n否则无左孩子 3. 若2i2n右孩子序号2i22i2n否则无右孩子 3.3二叉树的存储结构 二叉树一般可以使用两种结构存储一种顺序结构一种链式结构。 3.3.1 顺序存储 顺序结构存储就是使用数组来存储一般使用数组只适合表示完全二叉树因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组在逻辑上是一颗二叉树。 3.3.2链式存储 二叉树的链式存储结构是指用链表来表示一棵二叉树即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成数据域和左右指针域左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链。 代码示例 typedef int BTDataType; // 二叉链 struct BinaryTreeNode { struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子 struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子 BTDataType _data; // 当前节点值域 } // 三叉链 struct BinaryTreeNode { struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲 struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子 struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子 BTDataType _data; // 当前节点值域 } 欢迎各位大佬一起学习交流~