CF2152H2 Victorious Coloring (Hard Version) 题解

Description

给定一棵有 \(n\) 个顶点的树，每个顶点编号为 \(1\) 到 \(n\)。每条边都被赋予一个正整数权值 \(w_1, w_2, \ldots, w_{n-1}\)。

一种“胜利染色”指的是将所有顶点染成红色或黄色两种颜色，其中必须至少有一个顶点染成红色（这象征着队伍 T1 的象征）。

设对每个顶点分配了一个非负整数权值 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\)。胜利染色的代价被定义为：所有红色顶点权值之和，加上所有连接不同颜色顶点（即红色和黄色）之间的边的权值之和。定义 \(f([x_1, x_2, \ldots, x_n])\) 为所有胜利染色下可能的最小代价。

Gumayusi 考虑了在给定序列 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) 时计算 \(f([x_1, x_2, \ldots, x_n])\) 的问题。但对他而言这个问题太简单了，于是他改进了这个问题：给定一个整数 \(l\)，求一组非负整数顶点权值 \([x_1, x_2, \ldots, x_n]\)，使得 \(f([x_1, x_2, \ldots, x_n]) \ge l\) 且顶点权值总和 \(\sum_{i=1}^n x_i\) 最小。

Gumayusi 感到满意，但还存在一个严重问题——这个问题没有任何询问，对于任何不是“坏的”题目来说是不可接受的。因此，他给这个问题增加了询问。每给定一个 \(l\) 作为询问，你需要输出相应的最小总顶点权值。

\(1\leq n,q\leq 2.5\times 10^5\)。

Solution

设 \(g(S)\) 表示选择 \(S\) 点集内的点染红的边权代价和，那么问题实际上等价于选择一些互不相交的集合 \(S_1,S_2,\ldots,S_k\)，最大化 \(\sum(l-g(s_i))\)。

首先容易发现最优划分中 \(S\) 一定构成一个连通块，否则随便选择任意一个连通块 \(T\) 的 \(g(T)\) 值一定小于 \(g(S)\)，最终的结果也就更大。

还有一个结论是如果存在两条边 \(e_1\) 和 \(e_2\)，满足 \(e_1\) 两个端点都在 \(S\) 中，\(e_2\) 恰有一个端点在 \(S\) 中，则一定满足 \(w(e_1)>w(e_2)\)。否则把 \(e_1\) 断掉会把 \(S\) 划分成两个集合 \(S_1\) 和 \(S_2\)，选择不包含 \(e_2\) 的端点的那个集合，那么 \(g\) 值一定会至少减少 \(w(e_2)-w(e_1)\geq 0\)，矛盾。

注意到如果我们固定最优划分集合 \(S\) 邻域中边权最小的边是 \(e\) 后，只会有至多两个集合满足条件！这是因为 \(e\) 只有两个端点，这两个集合就是两边分别走边权大于 \(w(e)\) 的边后能走到的连通块。

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由于这个很类似最大生成树，所以考虑建出边权从大到小的 kruskal 重构树。那么每次选择的集合一定构成一个子树。

每个子树的 \(g\) 值容易树上差分求，设 \(s_u\) 表示 \(u\) 选择子树的 \(g\) 值，\(f_u\) 表示 \(u\) 子树能选择的最大 \(\sum(k-s_u)\)。

容易得到转移：\(f_u\leftarrow \max(f_{ls_u}+f_{rs_u},k-s_u)\)，直接转移是 \(O(nq)\) 的。

优化就考虑最终的答案一定是由 \(k\cdot i+w\) 的形式构成的，设 \(g_{u,i}\) 表示 \(u\) 的子树中系数为 \(i\) 的最大 \(w\) 值。

转移变为 \(g_{u,i+j}\leftarrow g_{ls_u,i}+g_{rs_u,j},g_{u,1}\leftarrow -s_u\)，经打表发现这个东西是凸的，所以可以优先队列+启发式合并维护差分数组，询问时二分即可。

时间复杂度：\(O(n\log^2n+q\log n)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>#define int int64_tconst int kMaxN = 5e5 + 5;int n, q, cnt, k;
int u[kMaxN], v[kMaxN], w[kMaxN], fa[kMaxN], id[kMaxN], s[kMaxN];
int ls[kMaxN], rs[kMaxN], f[kMaxN];
std::priority_queue<int> qq[kMaxN];
// int f[kMaxN];
// int sz[kMaxN], g[5005][5005];inline void chkmax(int &x, int y) { x = (x > y ? x : y); }
inline void chkmin(int &x, int y) { x = (x < y ? x : y); }int find(int x) {return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}void unionn(int x, int y, int w) {int fx = find(x), fy = find(y);if (fx != fy) {++cnt, ls[cnt] = id[fx], rs[cnt] = id[fy], s[cnt] = s[id[fx]] + s[id[fy]] - 2 * w;fa[fx] = fy, id[fy] = cnt;}
}void build() {cnt = n;for (int i = 1; i <= n; ++i) fa[i] = id[i] = i;std::vector<std::tuple<int, int, int>> ed;for (int i = 1; i < n; ++i) ed.emplace_back(w[i], u[i], v[i]);std::sort(ed.begin(), ed.end(), std::greater<>());for (auto [w, u, v] : ed) {unionn(u, v, w);}
}void _dfs(int u) {for (; qq[u].size(); qq[u].pop()) {}if (u <= n) {qq[u].emplace(-s[u]);} else {_dfs(ls[u]), _dfs(rs[u]);if (qq[ls[u]].size() < qq[rs[u]].size()) qq[ls[u]].swap(qq[rs[u]]);qq[u].swap(qq[ls[u]]);for (; qq[rs[u]].size(); qq[rs[u]].pop()) qq[u].emplace(qq[rs[u]].top());if (qq[u].top() < -s[u]) {int lst = qq[u].top();qq[u].pop();if (qq[u].size()) {int x = qq[u].top() + lst;qq[u].pop(), qq[u].emplace(x + s[u]);}qq[u].emplace(-s[u]);}}// std::cerr << "??? " << u << ' ' << ls[u] << ' ' << rs[u] << ' ' << s[3] << ' ' << s[5] << ' ' << s[6] << '\n';// auto tmp = qq[u];// for (; tmp.size(); tmp.pop()) std::cerr << tmp.top() << ' ';// std::cerr << '\n';
}int solve(int k) {// assert(cnt == 2 * n - 1);// ::k = k, dfs(cnt);// return f[cnt];// int ret = 0;// for (int i = 0; i <= n; ++i) chkmax(ret, k * i + f[i]);// return ret;int L = 0, R = n + 1, res = 0;while (L + 1 < R) {int mid = (L + R) >> 1;if (k * mid + f[mid] > k * (mid - 1) + f[mid - 1]) L = res = mid;else R = mid;}return k * res + f[res];
}void dickdreamer() {std::cin >> n;std::fill_n(s + 1, n, 0);for (int i = 1; i < n; ++i)std::cin >> u[i] >> v[i] >> w[i], s[u[i]] += w[i], s[v[i]] += w[i];build();_dfs(cnt);assert(qq[cnt].size() == n);for (int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = f[i - 1] + qq[cnt].top(), qq[cnt].pop();std::cin >> q;for (int i = 1; i <= q; ++i) {int k;std::cin >> k;std::cout << solve(k) << '\n';}
}int32_t main() {
#ifdef ORZXKRfreopen("in.txt", "r", stdin);freopen("out.txt", "w", stdout);
#endifstd::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);int T = 1;std::cin >> T;while (T--) dickdreamer();// std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";return 0;
}