qmd 模拟赛的一道题

原题用下面的做法可以强制在线

没注意到支配对也是可以做的。

考虑如何求区间 mex，线段树扫描 \(r\)，维护 \(lst_i\) 代表 \(i\) 最后一次出现的位置，只需要线段树二分即可。在线就把扫描线变成主席树。

回到这个题，注意到只需要关心所有长度为 \(k\) 的区间，为了方便将 \(lst_i\) 的定义改成到 \(i\) 的距离。本质上就是，对于扫描线在 \([l+k-1,r]\) 处的所有线段树查询信息。二分 mex 为 \(x+1\)，需要求出是否存在一棵 \([l+k-1,r]\) 中的线段树满足 \([0,x]\) 上的权值 \(<k\)，画到二维平面上长这个样子：

即需要判断红色矩形内是否存在那样一条绿线满足线上的值全部 \(<k\)，先整体二分一下。注意到矩形是 3-side 的，横轴有两维限制，纵轴只有一维。于是换维扫描线，此时线段树维护扫到某个纵坐标时，所有横坐标的历史最大值。实际上是：

• 修改，对于一段区间 \([l,r]\)，依次将 \(v_l\sim v_r\) 对 \(0,1,2,\dots,r-l+1\) check max。

• 询问，查询区间最小值。

可以发现修改次数是和 \(n\) 线性相关。注意到修改之间实际上有支配关系，我们可以将修改操作变成区间赋值成 \(x,x+1,\dots\)。这样加上整体二分就是 \(2\log\) 的。

场上止步于此了。可以发现将整体二分变成主席树就是 \(1\log\) 了，这一步没发现有点菜。

修改操作的支配关系：注意到对于一个位置 \(x\)，只需要关注包含它的最远一个修改。那么对于修改 \((l,r)\)，找到 \(m\) 为前面操作中修改左端点 \(\in[1,l]\)，右端点的最大值。那么只需对 \([m+1,r]\) 做区间赋值即可。

2log 的代码：

#pragma GCC optimize(3)
#include<bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define fi first
#define se second
#define pii std::pair<int,int>
#define vint std::vector<int>
#define vpair std::vector<pii>
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define SZ(x) (x).size()
#define debug(...) fprintf(stderr,##__VA_ARGS__)template<typename T>
void read(T &x){x=0;int f=1;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+(int)(c-'0'),c=getchar();x*=f;
}std::stack<char>st;
template<typename T>
void print(T x){if(x==0) putchar('0');if(x<0) putchar('-'),x=-x;while(st.size()) st.pop();while(x) st.push((char)('0'+x%10)),x/=10;while(st.size()) putchar(st.top()),st.pop();
}template<typename T>
void printsp(T x){print(x),putchar(' ');
}template<typename T>
void println(T x){print(x),putchar('\n');
}template<typename T,typename I>
bool chkmin(T &a,I b){if(a>b) return a=b,1;return 0;
}template<typename T,typename I>
bool chkmax(T &a,I b){if(a<b) return a=b,1;return 0;
}template<typename T,typename I>
void addedge(std::vector<I>*vec,T u,T v){vec[u].push_back(v);
}template<typename T,typename I,typename K>
void addedge(std::vector<K>*vec,T u,T v,I w){vec[u].push_back({v,w});
}template<typename T,typename I>
void addd(std::vector<I>*vec,T u,T v){addedge(vec,u,v),addedge(vec,v,u);
}template<typename T,typename I,typename K>
void addd(std::vector<K>*vec,T u,T v,I w){addedge(vec,u,v,w),addedge(vec,v,u,w);
}bool Mbe;const int inf=1e9,MOD1=998244353,MOD2=1e9+7;const int maxn=1e6+10;int n,q,a[maxn],ans[maxn];vint pos[maxn];struct info{int l,r,k,id,ml,mr,mid;
}b[maxn];struct segtree{int l[maxn*2],r[maxn*2],ls[maxn*2],rs[maxn*2],lz[maxn*2],mi[maxn*2],tot;void clear(){tot=0;}void dfs(int p){if(!p) return ;mi[p]=inf,lz[p]=-1;dfs(ls[p]),dfs(rs[p]);}void push_up(int p){mi[p]=std::min(mi[ls[p]],mi[rs[p]]);}int build(int L,int R){int p=++tot;l[p]=L,r[p]=R,lz[p]=-1;if(L==R) return mi[p]=inf,p;int mid=(L+R)>>1;ls[p]=build(L,mid),rs[p]=build(mid+1,R);return push_up(p),p;}void push_down(int p){if(lz[p]==-1) return ;mi[ls[p]]=lz[ls[p]]=lz[p],mi[rs[p]]=lz[rs[p]]=lz[p]+r[ls[p]]-l[ls[p]]+1;lz[p]=-1;}void update(int p,int L,int R,int x){if(l[p]>=L&&r[p]<=R){x=x+l[p]-L;lz[p]=mi[p]=x;return ;}push_down(p);int mid=(l[p]+r[p])>>1;if(mid>=L) update(ls[p],L,R,x);	if(R>mid) update(rs[p],L,R,x);return push_up(p),void();}int query(int p,int L,int R){if(L>R) return inf;if(l[p]>=L&&r[p]<=R) return mi[p];push_down(p);int mid=(l[p]+r[p])>>1,res=inf;if(mid>=L) chkmin(res,query(ls[p],L,R));if(R>mid) chkmin(res,query(rs[p],L,R));return res;}
}ds;struct BIT{int mx[maxn];void clear(){for(int i=1;i<=n;i++) mx[i]=0;}int lowbit(int x){return x&(-x);}void upd(int p,int x){for(;p<=n;p+=lowbit(p)) chkmax(mx[p],x);}int qry(int p){int res=-1;while(p) chkmax(res,mx[p]),p-=lowbit(p);return res;}
}ds_;bool cmp(info x,info y){return x.mid<y.mid;
}void upd(int l,int r,int y){int x=ds_.qry(l);chkmax(x,l-1);if(x>=r) return ;ds.update(1,x+1,r,x-l+1+y);ds_.upd(l,r);
}void solve(){for(int i=1;i<=q;i++){if(b[i].ml>b[i].mr) b[i].mid=inf;else b[i].mid=(b[i].ml+b[i].mr)>>1;}std::sort(b+1,b+q+1,cmp);int z=1,m=0;ds.clear(),ds.dfs(1),ds_.clear();for(int i=0;i<n;i++){if(pos[i].size()){int las=pos[i][0];chkmax(m,las-1);for(int j=1;j<pos[i].size();j++){if(pos[i][j]-1>m) upd(las,pos[i][j]-1,0);las=pos[i][j];}upd(las,n,0);}else m=n;while(z<=q&&b[z].mid==i){if(ds.query(1,std::max(b[z].l,m+1),b[z].r)<b[z].k) b[z].ml=b[z].mid+1;else b[z].mr=b[z].mid-1;z++;}if(z>q||b[z].mid==inf) break;}
}bool Men;signed main(){freopen("vmefifty.in","r",stdin),freopen("vmefifty.out","w",stdout);debug("%.6lfMB\n",(&Mbe-&Men)/1048576.0);read(n),read(q);for(int i=1;i<=n;i++){read(a[i]);if(a[i]<n) pos[a[i]].push_back(i);}for(int i=1;i<=q;i++){read(b[i].l),read(b[i].r),read(b[i].k);b[i].ml=0,b[i].mr=n-1,b[i].id=i;if(b[i].k>b[i].r-b[i].l+1) b[i].k=b[i].r-b[i].l+1;b[i].l+=b[i].k-1;}ds.build(1,n);while(1){bool fl=0;for(int i=1;i<=q;i++){if(b[i].ml<=b[i].mr){solve();fl=1;break;}}if(!fl) break;}for(int i=1;i<=q;i++) ans[b[i].id]=b[i].ml;for(int i=1;i<=q;i++) println(ans[i]);debug("%.6lfms\n",1e3*clock()/CLOCKS_PER_SEC);
}