CSP-J 第二轮集训 ：总结 + 专题细分精讲_from_黄老师

CSP-J 第二轮集训资料 总结 + 专题细分精讲。
为方便查阅，采用「总-分」结构：

1. 先用一张 思维导图级总表 让你 30 秒看清全局；
2. 对专题资料做 “三维”剖析：
   • 知识脉络（思维导图）
   • 典型题目（含算法/陷阱/复杂度）
   • 可迁移的“套路模板”与易错点

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1️⃣ 总体速览

专题	核心定位	难度曲线	关键词 10 秒版
基础算法	第一轮补漏 + 第二轮提速	J 组 80 → 100 分	二分、前缀和、贪心证明、数论拆分、模拟
搜索	拿不到满分时的“救命分”	暴力 → 记忆化 → 剪枝	DFS 序、迭代加深、A*、双向广搜、数独
动态规划	第二轮真正拉差距的主战场	会模型 1 题 35 → 满分	状态压缩、单调队列、斜率优化、区间 DP
图论	高频必考、模板必须熟	最短路 → 树链剖分	dijkstra、拓扑、并查集、LCA、虚树
贪心	思维量最大、代码量最小	想到 5 分钟，想不到 5 小时	反悔堆、排序不等式、差分约束、Huffman

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2️⃣ 逐个专题精讲

📘 基础算法

① 知识脉络

graph TD A[基础算法] --> B(复杂度分析) A --> C(前缀/差分) A --> D(二分答案) A --> E(数学) E --> E1(幂次拆分) E --> E2(模运算) A --> F(贪心) F --> F1(证明套路)

② 典型题速览

题	考点	易错/陷阱	模板速记
分糖果	剩余系贪心	余数分类讨论	ans = max(R % n, L % n, (R-L+1)/n * n ? 0 : R % n)
次大模数	去重 + 次大值	只考虑 a_i mod max_j	set 维护候选
优秀拆分	2 的正整数次幂	1 不能出现	n & (n-1) 判 2 的幂
快速幂警示	爆 int 边界	中途乘爆	边乘边判 -1

③ 可迁移套路

• 二分答案三板斧：
  1. 确定 check(mid) 含义
  2. 证明单调性
  3. 处理边界 l, r 开闭
• 贪心证明两板斧：
  1. 交换邻项证不差
  2. 数学不等式（排序不等式、均值不等式）

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📗 搜索

① 知识脉络

graph TD A[搜索] --> B(DFS 序) A --> C(剪枝) C --> C1(最优性剪枝) C --> C2(可行性剪枝) A --> D(记忆化) A --> E(迭代加深/IDA*) A --> F(双向广搜)

② 典型题速览

题	搜索策略	剪枝/优化	记忆化状态
牛奶桶	迭代加深	桶量只有 0/X/Y 三种有效值	(x,y,step)
windy 数	数位 DP	差 ≥2 预处理	pos, lead, last, tight
奶酪空洞	三维连通性	并查集/DFS 均可	无
01 迷宫	连通块染色	颜色交替 BFS	color[x][y]

③ 可迁移套路

• 迭代加深公式：
  max_depth = 0 ... ∞，每层限界 f+g>h 剪掉。
• 双向广搜触发条件：
  状态空间 |S|≤1e6 且分支因子大，正反向各扩一半。

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📕 动态规划（第二轮真正拉差距）

① 知识脉络

graph TD A[DP] --> B(线性 DP) A --> C(区间 DP) A --> D(状态压缩) A --> E(树形 DP) A --> F(优化) F --> F1(单调队列) F --> F2(斜率优化) F --> F3(四边形不等式)

② 典型题速览

题	状态设计	转移/优化	复杂度
Luogu3842 平面序列	f[i][k] 前 i 点加 k 个点的最长链	离散化 + 线段树 max	O((n+k) log n)
CF2033D 美丽区间	pre[i] 前缀和最早出现位置	贪心选不重叠	O(n)
CF1105C 和 mod3=0	dp[i][0/1/2] 计数	滚动数组	O(n)
Luogu7074 方格取数	f[i][j][k] 三进制状态	插头 DP	O(nm 3^m)

③ 可迁移套路

• 区间 DP 万能模板
  for len=1..n; for l=1..n-len+1; r=l+len-1; for k=l..r-1
• 状态压缩三问
  1. 哪些信息必须记录？
  2. 能否用位掩码？
  3. 能否预处理子集转移？

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📒 图论

① 知识脉络

graph TD A[图论] --> B(最短路) B --> B1(Dijkstra) B --> B2(SPFA 已死) A --> C(生成树) C --> C1(Kruskal) C --> C2(Prim) A --> D(拓扑排序) A --> E(LCA) E --> E1(倍增) E --> E2(树链剖分) A --> F(虚树)

② 典型题速览

题	算法核心	易错点	模板提示
Luogu3243 菜肴拓扑	字典序最小拓扑	反图 + 优先队列	大根堆
Luogu9751 旅游巴士	分层图最短路	时间模 k 建图	dist[u][t%k]
Luogu5683 拆道路	双限制最短路	两次 Dijkstra 贪心删边	并查集维护
Luogu11855 子树加	树差分	入出时间戳	dfs in/out

③ 可迁移套路

• 分层图万能公式
  当状态 = (位置, 模意义下时间/资源) 直接多开一维。
• 树链剖分两问
  1. 要路径查询还是子树查询？
  2. 线段树维护值还是标记？

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📙 贪心

① 知识脉络

graph TD A[贪心] --> B(排序贪心) A --> C(反悔贪心) C --> C1(堆) C --> C2(链表合并) A --> D(差分约束) A --> E(Huffman) A --> F(拟阵)

② 典型题速览

题	贪心策略	证明关键点	数据结构
Luogu2512 糖果均分	环形均分	中位数最优	排序
Luogu2949 任务调度	截止期越早越先做	交换邻项	优先队列
Luogu2168 k 进制前缀	Huffman 变种	Kraft 不等式	多叉堆
Luogu6155 最小花费	先 swap 再贪心增 1	排序不等式	树状数组

③ 可迁移套路

• 反悔贪心模板
  1. 按某关键字排序
  2. 用堆维护已选集合
  3. 若新元素更优则 pop 旧再 push 新，累加差值
• 差分约束建图三步
  1. 不等式转 u-v≤c
  2. 连边 v→u 权 c
  3. 跑最短路判负环

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3️⃣ 如何把这些专题吃透吃干抹净

阶段	目标	推荐做法	时间预算
赛前 2 周	模板熟练度 100%	每份资料挑 3 题限时 30 min 敲完	每天 2 h
赛前 1 周	查漏补缺	重做曾经 WA 过的题，写“错题本”	每天 1 h
赛前 3 天	思维保温	只看题想思路，不写代码，保持手感	每天 30 min

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4️⃣ 一句话带走

“基础算法保 80，搜索抢 10 分，DP 图论贪心冲满分。”
把上述五份专题资料按“模板 → 错题 → 思维”三遍刷完，CSP-J 第二轮就是考场上最稳的靓仔。祝 RP++！