CF2115 VP 记录

CF2115 Div1

B

比较人类智慧.

后面操作会覆盖前面的，考虑对序列 \(b\) 构造一种具有必要性的操作使得满足题目限制，因为一个重要事实是序列 \(a\) 并不唯一，只要对于任意位置，在被覆盖前没有覆盖其他位置的操作，或者其他位置之后还可以被覆盖的，都满足题意.

根据上述思考，可以发现：在 \(b\) 与操作序列确定时，当根据必要条件构造出某个 \(a\)，对于任意会被覆盖的位置（除去自己覆盖自己的情况），若初始值为 \(-\infty\) 时经过操作仍然得到 \(b\) 则合法，否则不存在合法的 \(a\). 充分性显然，因为限制不弱于原构造. 必要性证明考虑上文的观察.

那么怎样构造出具有必要性的操作呢？倒序考虑，\(b_i\leftarrow \min(b_j,b_k)\)，那么在已知 \(b_i\) 的情况下，操作前的 \(b_j',b_k'\) 就不能小于 \(b_i\)，所以令 \(b_j'\leftarrow\max(b_j,b_i),b_k'\leftarrow\max(b_k,b_i)\).

实现时 \(-\infty\) 取 \(0\) 即可.

C

很巧妙的状态设计.

考虑能操作就操作不一定优，当且仅当未闪耀时遇到所有怪物血量相同，考虑 DP 来处理这个东西.

要想办法表述怪物血量是否相同这个限制，直接加一维 \(0/1\) 肯定不行，去找其他限制. 考虑闪耀时不能操作当且仅当最小值已经为 \(1\)，而值域在可接受范围内，所以直接加一维最小值；除去最小值剩下要几次单个 \(-1\) 才能到所有怪物血量相同的状态显然也影响概率，也加进去.

现在有一个初步的状态：设 \(f_{i,j,k}\)，表示还剩 \(i\) 次操作没做，血量最小值为 \(j\)，总血量为 \(nj+k\) 时成功的最大概率. 但是空间复杂度是 \(O(nmv^2)\)，而且似乎不好直接优化了. 但是似乎可以转移了，尝试一下：

• 初始状态 \(f_{i,1,0}=1\)，可以通过一直不操作来得到成功局面.
• 血量最小值大于 \(1\) 且血量全为最小值时，闪耀肯定做全局操作，否则取较大值，有转移：

\[f_{i,j,0}=p\times f_{i-1,j-1,0}+(1-p)\times \max(f_{i-1,j-1,n-1},f_{i-1,j,0}) \]

• 有血量不为最小值的情况时不管闪耀与否直接操作更优，有转移：

\[f_{i,j,k}=p\times f_{i-1,j-1,k}+(1-p)\times f_{i-1,j,k-1} \]

发现 \(k\) 这一维在变为 \(0\) 后不会超过 \(n-1\)，说明有优化空间. 如果能成功，\(k\) 至少要变为 \(0\) 一次，而在这之前都是能操作就操作. 由于两种操作对 \(k\) 影响不同，计算操作 \(i\) 次达到 \(0\) 的概率，钦定第 \(i\) 次一定不闪耀，概率即为 \((1-p)^kp^{i-k}{i-1\choose k-1}\).

系数可以递推预处理，最后乘起来即可.