特地拎出来的总结

这篇总结不太一样，为了纪念和我爸喋喋不休吵了近3h的时间和教训，用Deepseek共同完成 ：

题目

T674176 T2-任务task

题目描述

时间限制： 2.0 秒

空间限制： 512 MiB

有 \(n\) 个任务，第 \(i\) 个任务需要占据 \([l_i,r_i]\) 的时间，每个任务都会在瞬间结束，不会干扰到之后的任务。

你需要保证只使用 \(k\) 条并行线路完成任务，具体来说：

在选择任务后，你有 \(k\) 个流水线，第 \(t\) 流水线能分配若干任务 \([l_{t,i},r_{t,i}]\)。
合法方案需要满足 \(l_{t,i+1}\ge r_{t,i}\)，即结束时间不能超过下一个开始时间，且所有任务都分配进去。
也就是说：

• 对于区间 \([1,2],[2,3]\)，可以分配到一条流水线上；
• 对于全部是 \([1,1]\) 区间的任务，都可以将其安排在一条流水线上；
• 但是如果是 \([2,2]\) 和 \([1,3]\) 两个区间就无法安排在一条流水线上。

输入格式

从标准输入读入数据。

第一行两个正整数 \(n,k\)，表示任务的数量和同时最多能做的任务数。
接下来 \(n\) 行，第 \(i+1\) 行两个整数表示 \(l_i,r_i\)。

输出格式

输出到标准输出。

输出一行一个整数，表示最多能完成的任务数。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 1
1 2
2 3
1 3

输出 #1

2

说明/提示

补充样例0输入

3 1

1 1

1 1

1 1

样例0输出

3
样例1解释

做任务 \(1\) 和任务 \(2\)。注意任务 \(1\) 结束的那一刻不算正在做任务 \(1\)，可以立即开始任务 \(2\)。

对于所有的数据，1 ≤ k ≤n ≤ 10⁶, 0 ≤ lᵢ ≤ rᵢ ≤ n

子任务

测试点编号	\(n\leq\)	特殊性质
\(1\sim 3\)	\(17\)	\(k=1\)
\(4\sim 6\)	\(17\)	\(l_i\leq l_{i+1}\)，\(r_i\leq r_{i+1}\)
\(7\sim 13\)	\(17\)	无特殊性质
\(14\sim 16\)	\(10^2\)	\(k=1\)
\(17\sim 19\)	\(10^2\)	\(l_i\leq l_{i+1}\)，\(r_i\leq r_{i+1}\)
\(20\sim 25\)	\(10^2\)	无特殊性质
\(26\sim 28\)	\(5\times 10^3\)	\(k=1\)
\(29\sim 30\)	\(5\times 10^3\)	\(l_i\leq l_{i+1}\)，\(r_i\leq r_{i+1}\)
\(31\sim 41\)	\(5\times 10^3\)	无特殊性质
\(42\sim 43\)	\(5\times 10^4\)	\(k=1\)
\(44\sim 46\)	\(5\times 10^4\)	\(l_i\leq l_{i+1}\)，\(r_i\leq r_{i+1}\)
\(47\sim 55\)	\(5\times 10^4\)	无特殊性质
\(56\sim 58\)	\(10^5\)	\(k=1\)
\(59\sim 64\)	\(10^5\)	\(l_i\leq l_{i+1}\)，\(r_i\leq r_{i+1}\)
\(65\sim 76\)	\(10^5\)	\(r_i-l_i<10\)
\(77\sim 83\)	\(10^5\)	无特殊性质
\(84\sim 90\)	\(10^6\)	\(r_i-l_i<10\)
\(91\sim 92\)	\(10^6\)	\(k=1\)
\(93\sim 94\)	\(10^6\)	\(l_i\leq l_{i+1}\)，\(r_i\leq r_{i+1}\)
\(95\sim 100\)	\(10^6\)	无特殊性质

题目关键点

• 问题本质：选择尽可能多的任务，使得在任何时刻最多有 ( k ) 个任务同时进行（任务在结束时刻不计入进行中）。
• 核心约束：任务的时间区间 ([l_i, r_i]) 不能重叠超过 ( k ) 个，但允许任务在结束时刻立即开始下一个任务（即区间端点不重叠不计入冲突）。
• 数据规模：( n \leq 10^6 )，需要高效算法。

正解思路

题解中提到的正确解决方案是：

1. 排序策略：将任务按照结束时间 ( r_i ) 从早到晚排序。这有助于优先安排结束早的任务，为后续任务留出空间。
2. 贪心选择：依次考虑每个任务，如果加入后不违反“任何时刻最多 ( k ) 个任务”的约束，则选择该任务。
3. 约束检查：检查加入任务后，任务区间 ([l_i, r_i]) 内的同时任务数是否超过 ( k )。这需要动态维护每个时间点的任务数。
4. 数据结构优化：使用线段树或堆来高效查询区间最大值和更新任务数。具体来说：
   • 线段树：维护时间轴上的任务数，支持区间查询最大值和区间加操作（当加入任务时，将 ([l_i, r_i]) 的任务数加1）。
   • 堆优化：由于只需要检查后缀最大值，可以用堆来维护当前进行中的任务结束时间，每次检查时弹出已结束的任务。

正解的时间复杂度为 ( O(n \log n) ) 或 ( O(n \log C) )（其中 ( C ) 是时间范围），能够处理 ( n \leq 10^6 ) 的数据。

做题情况分析

• 暴力解法：最初实现了 ( O(n^2) ) 的暴力解法，即枚举任务组合并检查约束。这种方法在 ( n ) 较大时（如 ( n > 10^4 )）会超时，无法通过所有测试点。
• 问题根源：对 ( k ) 的特殊性不敏感，没有意识到 ( k ) 可以作为优化关键。在暴力解法中，未能将问题转化为贪心选择与数据结构维护，导致无法优化到正解。
• 具体不足：
  • 没有使用排序策略来简化问题。
  • 没有利用数据结构高效检查区间任务数，而是每次重新计算，造成高复杂度。
  • 忽略了题解中提到的“结束时间排序”和“区间查询”的提示。

改进建议

1. 转换思路：对于区间选择问题，优先考虑按结束时间排序的贪心策略，这常用于解决区间不重叠或资源限制问题。
2. 利用 k 值：当 ( k ) 较小时，可以考虑更简单的优化；但即使 ( k ) 较大，也应使用数据结构维护全局约束。
3. 掌握数据结构：熟练运用线段树、堆等数据结构处理区间查询和更新，这是解决大规模数据问题的关键。
4. 代码实践：在实现正解时，注意离散化时间点以降低空间复杂度，并小心处理区间端点（如结束时刻不计入）。

通过本题，应加强贪心算法与数据结构的结合应用，避免陷入暴力枚举的思维定式。在类似问题中，及时分析约束条件并选择高效算法是得分的关键。