10.4模拟赛总结

2025-2026 赛季 OIFHA 第三十四场 NOIP 模拟赛总结

一休尼（forever）

原题：CF5E Bindian Signalizing

长度为 \(n\) 的整数序列 \(a\) 。求整数对 \((i,j)\)，\(i,j\in [1,n]\) 的个数，满足 \((i,j)\) 之间存在至少一条路径，使这条路径中的每个整数都不大于 \(min(a_i,a_j)\)。

根据题目的性质很容易想到单调栈，赛时快速有了一个做法：从一个最大的元素开始顺时针遍历这个环，然后单调栈中的每个点维护权值和该权值目前出现的次数，每次遍历比较栈顶元素和当前元素的大小统计答案。

快速写完之后运行代码，发现每个大样例的答案都有小于等于 \(10\) 的偏差，之后进行了长达 2h 的调试和 hack，发现自己的实现会忽略部分含最大值的整数对，同时对于有多个最大值的情况也会出现问题，因此在 A 题上耗费了长达 2.5h。

中心（center）

给定一个由 \(n\) 个节点和 \(m\) 条边构成的带权无向连通图。图中的节点可以被视为城市，边可以被视为连接城市的双向道路，每条边都有一个表示其长度的权重。需要在此图中寻找一个中心点。这个中心点既可以位于图的任意一个节点上，也可以位于任意一条边的内部,以最小化所有节点到该中心点的最短距离中的最大值

这道题是在 A 没有调出来的情况下开的，想到了一个比正解多一个 log 的做法，首先使用 floyd 计算全源最短路，然后先考虑把中心放在节点上的情况，找到最优的城市，考虑在边上的情况，设与 \(u\) 的距离为 \(x\)，则其到 \(u\) 的距离为 \(x\)，到 \(v\) 的距离为 \(w–x\)，对于任一城市 \(i\)，
到中心的距离为 $$min(dis_{u,i} + x, dis_{v,i} + (w–x) )$$
整体目标函数为

\[f(x) = max_i min(dis_{u,i} + x, dis_{v,i} + (w–x) ) \]

此函数在区间 \([0, w]\) 上是凸的，可以用三分查找找到其最小值。

但是当时心情非常急躁，三分次数直接写了 \(60\) 次，在飞快通过了所有大样例之后没有意识到常数的巨大，最终导致了 TLE 60 分。。。

好的排列（center）

原题：P11316 [RMI 2021] 去 M / NoM

求将 \(n\) 对黑白石子（编号均为 1 到 \(n\)）排成一列，使得任意相同编号的黑白石子之间的距离都不是给定整数 \(m\) 的倍数的方案数。

赛时没有花太多的时间推式子，花 30min 写了一个 30pts 的纯暴力。

对 \(1…2n\) 的位置按模 \(m\) 分组（位置 \(p\) 的余数为 \(p \mod m\)）；
对于每个余数组，预先计算从该组中选出 \(j\) 对满足“距离为该模倍数”（不合法）的方案数，式子为：\(C(x, 2j) \times (2j–1)!!\)

用背包把各个余数组组合起来，得到 \(F(i)\)（总共选 \(i\) 对不合法的方案数）根据容斥原理，不合法 \(i\) 对对应的贡献为 \(C(n,i)\times (i! \times 2^i \times (2n-2i)!)\)；最后答案为

\[\sum (-1)^i \times F(i) \times C(n,i) \times i! \times 2^i \times (2n-2i)!。 \]

无限回忆（memory）

在给定树上，通过最优地设置 \(p\) 个存档点（必须包含起点 \(1\) 和终点 \(n\)），求从起点随机游走到终点的最小期望步数，其中每次移动等概率选择一个子节点，而走到“错误叶子”会传送回最近经过的存档点。

赛时没有时间看题了，赛后补了 50pts 的部分分，那个 dp 和 wqs 二分还没有看懂。

总结

这场主要存在的问题是 A 题在知道了做法之后花了太长的时间调试，严重影响了做后面题的进度和心态。

同时当在没有通过 A 题的情况下开后面的题，心态一定要平稳，尽量忘记前面的题目，这样才可以避免出现低级错误。

第四题没有时间写暴力也存在策略上的失误，但主要还是 A 2.5h + B 1h + C 0.5h 耗费了所有的时间。

本场模拟赛的理想得分： 100+100+30+50 = 280.