学习笔记：分拆数与 Ferrers 图

分拆数与互异分拆数

要求：给定一个正整数 \(n\)，要求将其划分为 \(m\) 个可重 / 不可重的正整数，问本质不同的方案数。（显然 \(m\) 与 \(\sqrt n\) 同阶。）

不妨令划分结果单调不降，则有两种 DP 路径：

• 法一：令 \(f_{i,j}\) 表示把 \(i\) 分成 \(j\) 个正整数的方案数。

  • 不可重：考虑将这 \(j\) 个数减去 \(1\)。最多一个元素由 \(1\) 变为 \(0\)，组数减少 \(1\)；其他时候还是 \(j\) 组。故云 \(f_{i,j}=f_{i-j,j-1}+f_{i-j,j}\)。
  • 可重：如果存在 \(1\)，可以删除之然后转移；否则仍整体减 \(1\) 转移。故曰 \(f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+f_{i-j,j}\)。

  该转移方法唯一性很显然。注意到第二维只和 \(j,j-1\) 有关；可以交换前后两维顺序然后滚动。

• 法二：令 \(n=\sum a_i\)，建立 \(a\) 的差分数组 \(d\)，则有 \(n=\sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^i c_j=\sum\limits_{i=1}^m (n-i+1)\times a_i\)。发现 \(a_i\) 每增大 \(1\)，答案会增大 \(n-i+1\)。故转化为『第 \(i\) 个物品重量为 \(n-i+1\)』的完全背包。

  • 不可重：要求每个物品至少选一次。
  • 可重：无限制。

  该方法唯一性更显然。

复杂度均为 \(O(nm)\)，即 \(O(V\sqrt V)\)。

例：Sets of Complementary Sums

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Ferrers 图

将 \(k\) 个分拆出来的数用横向柱状图表示并单调不增排列，得到 Ferrers 图。

将图像斜向翻折得到一组共轭解，原图中的 \(k\) 即为共轭解中的元素最值。故亦可限定分拆结果的最值为 \(k\)，则结果仍为 \(f_{n,k}\)。同时适用于分拆数与互异分拆数。

顺带提一嘴杨表：把点替换成 \(1\sim n\)，并使得一个点同时大于左侧和上方的值。

似乎就不是很有用了。计数题可能会考。