CF577B.Modulo Sum
思路
求是否存在一段非空子序列的和模 \(m\) 的值为 \(0\) ，可以先等价地对每一个数字都模 \(m\) 。对于一个长度为 \(n\) 的序列，显然有 \(n\) 段前缀和，并且前缀和模 \(m\) 的值有 \([0, m)\) 共 \(m\) 种。根据抽屉原理，当 \(n > m\) 时，一定有至少两段前缀和的值是相同的，而这两段前缀和相间得到的这一段连续子序列的和模 \(m\) 的值是 \(0\) ，符合要求。
也就是说，当 \(n > m\) 时一定是 YES 。
当 \(n \leq m\) 时，这个问题就转化为了一个 01背包，由于 \(m \leq 10^3\) ，因此可以直接计算。
设 \(f_{i, j}\) 表示从第 \(i\) 个数开始，能否通过选取一些数使得这些数的和模 \(m\) 的值为 \(j\) ，就有状态转移方程：
\[f_{i, j} |= f_{i - 1, j}
\]
\[f_{i, (j + a_i) \mod m} |= f_{i - 1, j}
\]
考虑边界，有：\(f_{i, a_i} = 1\) 。
最后只需要判断是否存在一个 \(f_{i, 0} = true\) 就可以了。
代码
void solve(void) {int n, m;std::cin >> n >> m;std::vector<int> a(n + 1);for(int i = 1; i <= n; i++) {std::cin >> a[i];a[i] %= m;}if(n > m) {std::cout << "YES\n";return;}std::vector<std::vector<int>> f(2020, std::vector<int>(2020));for(int i = 1; i <= n; i++) f[i][a[i]] = 1;for(int i = 1; i <= n; i++) {for(int j = 0; j < m; j++) {f[i][j] |= f[i - 1][j];f[i][(j + a[i]) % m] |= f[i - 1][j];}if(f[i][0]) {std::cout << "YES\n"; return;}}std::cout << "NO\n";
}
CF25D. Roads not only in Berland
思路
操作数显然是联通块的数量减一。接下来考虑如何构造出一种输出方式。
可以用并查集维护这张图，一个联通块可以删边当且仅当联通块是一个环，构成环的这条边是多余的。所以记录一下每个联通块多出来的多余边，并且记录每个联通块的根节点，之后就可以按照下面的方式输出：
环边的两个节点 联通块的根和下个联通块的根连一条新边
代码
struct DSU {std::vector<int> p, siz;DSU(int n): p(n + 1), siz(n + 1, 1) {std::iota(p.begin(), p.end(), 0);}int find(int x) {if(x == p[x]) return p[x];return p[x] = find(p[x]);}bool unite(int a, int b) {int pa = find(a), pb = find(b);if(pa == pb) return false;if(siz[pa] < siz[pb]) std::swap(pa, pb);p[pb] = pa;siz[pa] += siz[pb];return true;}bool same(int u, int v) {return find(u) == find(v);}int size(int u) {return siz[find(u)];}
};void solve(void) {int n; std::cin >> n;DSU dsu(n);std::vector<PII> del;for(int i = 1; i < n; i++) {int u, v; std::cin >> u >> v;if(!dsu.unite(u, v)) del.emplace_back(u, v);}std::vector<int> roots;for(int i = 1; i <= n; i++) {if(dsu.p[i] == i) {roots.push_back(i);}}std::cout << (int)roots.size() - 1 << '\n';for(int i = 0; i < (int)roots.size() - 1; i++) {int u = del[i].x, v = del[i].y;int a = roots[i], b = roots[i + 1];std::cout << u << ' ' << v << ' ' << a << ' ' << b << '\n';}
}
