数学章节总结

一、矩阵乘法

• 介绍

一个 \(m \times n\) 的矩阵是一个由 \(m\) 行 \(n\) 列元素排列成的矩形阵列。即形如：

\[A = \begin{bmatrix} a_{(1,1)} & a_{(1,2)} & \cdots & a_{(1,n)} \\ a_{(2,1)} & a_{(2,2)} & \cdots & a_{(2,n)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{(m,1)} & a_{(m,2)} & \cdots & a_{(m,n)} \end{bmatrix} \text{} \]

假定矩阵中的元素 \(a_{(i,j)}\) 是整数（当然有时也可以矩阵套矩阵）。

两个大小分别为 \(m \times n\) 和 \(n \times p\) 的矩阵 \(A, B\) 相乘的结果为一个大小为 \(m \times p\) 的矩阵。将结果矩阵记作 \(C\)，则：

\[c_{(i,j)} = \sum_{k = 1}^{n} a_{(i,k)}\times b_{(k,j)} \text{\qquad($1 \le i \le m$, $1 \le j \le p$).} \]

而如果 \(A\) 的列数与 \(B\) 的行数不相等，则无法进行乘法。

可以验证，矩阵乘法满足结合律，即 \((A B) C = A (B C)\)。

矩阵乘法不满足交换律，即两个不同的矩阵 \(A,B\)，\(AB \ne BA\)。

一个大小为 \(n \times n\) 的矩阵 \(A\) 可以与自身进行乘法，得到的仍是大小为 \(n \times n\) 的矩阵，记作 \(A^2 = A \times A\)。进一步地，还可以递归地定义任意高次方 \(A^k = A \times A^{k - 1}\)，或称 \(A^k = \underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k \text{ 次}}\)。

特殊地，定义 \(A^0\) 为单位矩阵 \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}\)，任何矩阵乘它的单位矩阵都等于它本身，单位矩阵类似于数乘里的 \(1\)。

• 矩阵快速幂

与整数的快速幂差不多。

求 \(A^k\)，首先把 \(k\) 转成二进制，令 \(k=2^0\times x_0+2^1\times x_1+\cdots+2^t\times x_t\) ，则可将矩阵 \(A\) 在 \(k\) 的每一个二进制位翻倍，当 \(x_i=1\) 时，把答案矩阵乘上 \(A\) 矩阵。

• 时间复杂度：\(O(\log_2k)\)

inline node mul(node x,node y){node res;memset(res.w,0,sizeof res.w);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){for(int k=1;k<=q;k++){res.w[i][j]=(res.w[i][j]+1ll*x.w[i][k]*y.w[k][j]%mod)%mod;}}}return res;
}
inline node ksm(node x,int b){node ans=x;while(b){if(b&1) ans=mul(ans,a); a=mul(a,a); b>>=1;}return ans;
}

二、高斯消元

• 介绍

  可以看这篇题解，讲得很详细~

  题解：P3389 【模板】高斯消元法

• 高斯-约旦消元法

  题解：P3389 【模板】高斯消元法

• 时间复杂度：\(O(n^3)\)

//普通高斯消元
void Gauss(int n){for(int i=1;i<=n;i++){int x=i;for(int j=i+1;j<=n;j++){if(fabs(a[x][i])<fabs(a[j][i])) x=j;}if(fabs(a[x][i])<step){cout<<"No Solution";return 0;}if(i!=x) swap(a[i],a[x]);double sum=a[i][i];for(int j=i;j<=n+1;j++) a[i][j]/=sum;for(int j=i+1;j<=n;j++){sum=a[j][i];for(int k=i;k<=n+1;k++) a[j][k]-=a[i][k]*sum;}}ans[n]=a[n][n+1];for(int i=n-1;i>=1;i--){ans[i]=a[i][n+1];for(int j=i+1;j<=n;j++) ans[i]-=a[i][j]*ans[j];}for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.2lf\n",ans[i]);
}
//高斯-约旦消元法
void Gauss(int n){for(int i=1;i<=n;i++){int x=i;for(int j=i+1;j<=n;j++){if(fabs(a[j][i])>fabs(a[x][i])) x=j;}if(fabs(a[x][i])<eps){cout<<"No Solution";exit(0);}if(i!=x) swap(a[i],a[x]);double y=a[i][i];for(int j=i;j<=n+1;j++) a[i][j]/=y;for(int j=1;j<=n;j++){if(j==i) continue;y=a[j][i];for(int k=i;k<=n+1;k++) a[j][k]-=a[i][k]*y;}}for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.2lf\n",a[i][n+1]);
}

三、求最大公约数/最小公倍数 \((gcd/lcm)\)

• 最大公约数：辗转相除法（普通欧几里得算法）

证明： \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\) .

设 \(a>b\)，\(x=a\bmod b\) 且 \(x\ne 0\)，则 \(a=k\times b+x\)（\(a,b,k,x\) 均为正整数）。

设 \(y\) 是 \(a,b\) 的一个公约数，记作 \(y\mid a\)，\(y\mid b\) .

设 \(m=a\div y\)，\(n=b\div y\)，则 \(m,n\in N\) .

∵ \(x=a-k\times b\)，∴ \(x\div y=a\div y-k\times b\div y=m-k\times n\) .

∴ \(x\div y\in N\)，\(y\mid x\) .

∵ \(y\) 也是 \(b,a \bmod b\) 的公约数，

∴ \(a,b\) 和 \(b,a\bmod b\) 的公约数都相等，所以其最大公约数也相等，得证。

由于任何数与 \(0\) 的最大公约数都是它本身，所以当 \(b=0\) 的时候，直接返回 \(a\) 就好了。

• 对于 \(b\) 的最终状态一定会为 \(0\) 的证明：

因为每次都把 \(\gcd(a,b)\) 转化成 \(\gcd(b,a\bmod b)\)，且 \(0\le (a\bmod b)\le b-1\)，所以 \(b\) 每次都会至少变小 \(1\)，所以最后 \(b\) 一定会为 \(0\) .

• 最小公倍数

\(lcm(a,b)=a\times b\div \gcd(a,b)\) .

int gcd(int a,int b){if(b) return gcd(b,a%b);return a;
}
int lcm(int a,int b){return 1ll*a*b/gcd(a,b);
}

四、扩展欧几里得算法 \((exgcd)\)

• 裴蜀定理

若 \(a,b\) 是整数，且 \(\gcd(a,b)=d\)，对于任意整数 \(x,y\)，\(ax+by\) 都一定是 \(d\) 的倍数，特别地，一定存在整数 \(x,y\)，使 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 成立。重要推论：\(a,b\) 互质的充要条件是存在整数 \(x,y\) 使 \(ax+by=1\) .

• \(exgcd\) —— 可用来求 \(ax+by\equiv\gcd(a,b)\) 的解。

现在开始解这个方程。

通过辗转相除法可以知道：

\[\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b) \]

假设有另一组解 \((x_2,y_2)\) 存在：

\[b\times x_2+(a\bmod b)\times y_2\equiv a\times x+b\times y\equiv 1 \]

\[∵a\bmod b=a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b \]

\[∴b\times x_2+（a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b）\times y_2\equiv a\times x+b\times y \]

变个形：

\[b\times x_2+a\times y_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b\times y_2\equiv a\times x+b\times y \]

\[a\times y_2+b\times (x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor \times y_2)\equiv a\times x+b\times y \]

可得：

\[x=y_2,y=x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor \times y_2 \]

问题变成了如何解出 \((x_2,y_2)\) 。

利用方程 \(b\times x_2+(a\bmod b)\times y_2\equiv a\times x+b\times y\)，就有了 \(b,a\bmod b\) 这两个系数，继续利用上述方法，找到下一组解 \((x_3,y_3)\) 。

在这个过程中，\((a,b)\) 会不断被替换为 \((b,a\bmod b)\)，最后一定会出现 \(x_n=\gcd(a,b)，y_n=0\) .

综上，我们只需要不断找到一组 \(x_i,y_i\)，然后不断把 \(x,y\) 替换为 \(x=y_i\)，\(y=x_i-b\times \lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times y_i\)，这样执行 \(n\) 次，最后把 \(x_n\) 赋为 \(\gcd(a,b)\)，\(y_n\) 赋为 \(0\)，再递归回去即可求出 \(x,y\) 了。

• 时间复杂度：\(O(\log_2 max(a,b))\)

时间复杂度证明：

每次都把 \(\gcd(a,b)\) 替换成 \(\gcd(b,a\bmod b)\)。

若 \(a<b\) ，相当于交换 \(a,b\) .

若 \(b<\frac{a}{2}\)，因为余数小于除数，所以 \(a\bmod b<b<\frac{a}{2}\) ，会把 \(a\) 缩小一半。

若 \(b=\frac{a}{2}\)，那么 \(a\bmod b=0\)，结束递归。

若 \(b>\frac{a}{2}\)，那么 \(\lfloor\frac{a}{b}\rfloor=1\)，\(\gcd(b,a\bmod b)\) 变成了 \(gcd(b,a-b)\)，
因为 \(b>\frac{a}{2}\)，所以 \(a-b<\frac{a}{2}\)，也会把 \(a\) 缩小一半。得证。

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if(!b){x=1,y=0;return;}ll xx,yy;exgcd(b,a%b,xx,yy);x=yy;y=xx-a/b*yy;
}