解码AVL树

为什么要关注二叉树的平衡性？—— 从 BST 的缺陷说起

二叉搜索树（BST）的核心优势是 “高效搜索”：利用 “左子树所有节点值＜根节点值＜右子树所有节点值” 的特性，能从根节点开始快速定位目标节点。但 BST 有个致命缺陷 ——无法保证树的结构平衡，极端情况下会 “退化”，彻底丧失高效性。

BST 的结构完全依赖节点插入顺序，若插入的节点值是 “有序的”（比如从小到大或从大到小），树会退化成一条 “链表”。

例子：有序插入导致 BST 退化

假设创建空 BST 后，依次插入节点值 1、2、3、4、5，最终树的结构如下：

这种结构虽然仍满足 BST 的定义（左小右大），但本质是单链表—— 每个节点只有右子树，没有左子树。

BST 的性能取决于 “树的高度”：

平衡的 BST：高度约为 log₂n（n 是节点总数），搜索时最多需要比较 log₂n 次，时间复杂度为 O(log₂n)。比如 n=1000 时，log₂1000≈10，只需比较 10 次。
退化的 BST（链表）：高度等于 n，搜索时需要从根遍历到最后一个节点，时间复杂度退化为 O(n)。比如 n=1000 时，最多需要比较 1000 次，效率大幅下降。

因此，我们需要一种 “自平衡的 BST”—— 既能保持 BST 的搜索特性，又能在插入 / 删除节点后自动调整结构，避免退化，这就是 “平衡树” 的核心需求。

要实现 “自平衡”，首先得明确：什么是 “平衡”？平衡树的严格定义：树中任意一个节点的左、右子树的高度差（称为 “平衡因子”）的绝对值 ≤ 1。

节点的高度：从该节点到 “最远叶子节点” 的路径上的节点总数（空树高度约定为 0，单个节点高度为 1）。
- 例：空树高度 = 0；只有根节点时，根的高度 = 1；根有左子节点时，根的高度 = max (左子树高度，右子树高度)+1=max (1,0)+1=2。
平衡因子：某节点的 “左子树高度 - 右子树高度”。平衡树要求所有节点的平衡因子 ∈ {-1, 0, 1}（绝对值≤1）。

例子：平衡树与非平衡树的对比

平衡树（所有节点平衡因子≤1）

非平衡树（存在节点平衡因子＞1）

AVL 树是最早实现 “自平衡” 的 BST，由 Adelson-Velsky 和 Landis 提出，因此得名。AVL 树的核心定义：既是二叉搜索树（满足左小右大），又是平衡树（所有节点平衡因子∈{-1,0,1}）。

AVL 树的关键能力是：插入或删除节点后，若树出现不平衡，能通过 “旋转” 操作快速恢复平衡，且旋转后仍保持 BST 的特性。

AVL 树不平衡的四种类型（插入 / 删除均可能导致）

插入或删除节点后，不平衡只会出现在 “从操作节点到根节点的路径上”，且不平衡的根源可归为四种类型，核心区别是 “不平衡节点的哪一侧子树过高，以及过高子树的哪一侧又过高”。

先明确两个概念：

四种不平衡类型如下：

类型	定义（以失衡节点为核心）
左左不平衡	失衡节点左子树过高（平衡因子＞1），且左子树的左子树更高（左子树平衡因子≥0）
左右不平衡	失衡节点左子树过高（平衡因子＞1），且左子树的右子树更高（左子树平衡因子＜0）
右左不平衡	失衡节点右子树过高（平衡因子＜-1），且右子树的左子树更高（右子树平衡因子＞0）
右右不平衡	失衡节点右子树过高（平衡因子＜-1），且右子树的右子树更高（右子树平衡因子≤0）

注：插入操作最多只会导致 1 个节点失衡；删除操作可能导致多个节点失衡，需从失衡节点向上回溯检查，直到根节点。

解决不平衡的核心操作 —— 旋转

旋转是 AVL 树恢复平衡的关键，本质是 “调整节点的父子关系”，分为基础旋转（左旋、右旋） 和复合旋转（左右旋、右左旋），每种不平衡类型对应一种旋转方案。

旋转的核心要求：

基础旋转 1：右旋（处理 “左左不平衡”）

当失衡节点是 “左左不平衡” 时，用右旋将 “左子树提为新根”，降低左子树高度，恢复平衡。

基础旋转 2：左旋（处理 “右右不平衡”）

左旋是右旋的 “镜像操作”，用于处理 “右右不平衡”，核心是将 “右子树提为新根”，降低右子树高度。

复合旋转 1：左右旋（处理 “左右不平衡”）

“左右不平衡” 是 “左子树的右子树过高”，无法用单次右旋解决，需分两步：先对左子树做左旋，将其转为 “左左不平衡”，再对失衡节点做右旋。

复合旋转 2：右左旋（处理 “右左不平衡”）

右左旋是左右旋的 “镜像操作”，用于处理 “右子树的左子树过高”，步骤：先对右子树做右旋，转为 “右右不平衡”，再对失衡节点做左旋。