2025.9.26
A 序列
OI 赛制收益者，挂了 70 分。
先考虑构造一个相邻逆序对最大的序列。
最佳的序列一定是从最大数扫到最小数，每个出现次数不为 \(0\) 的数依次放入数组末尾，并将出现次数减一，扫完最小数后重新扫最大数，一直重复即可。
构造出来后，若 \([1,j]\) 的相邻逆序对个数为 \(m\)，将 \([j+1,m]\) 的部分从小到大排序，消去贡献。
具体实现用 vector，可以参考代码，复杂度为 \(O(Tn\log n)\)。
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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <map>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m,ans[N];
vector<int>t[N];
map<int,int>H;
bool cmp(int a,int b){return a>b;
}
void work(){scanf("%d %d",&n,&m);int mx=0;for(int i=1,x;i<=n;i++){scanf("%d",&x);H[x]++,mx=max(mx,H[x]);t[H[x]].push_back(x);}int idx=0;for(int i=1;i<=mx;i++){sort(t[i].begin(),t[i].end(),cmp);for(auto v:t[i]){ans[++idx]=v;}}int now=0;bool flag=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(now==m){sort(ans+i,ans+n+1);flag=1;break;}if(ans[i]>ans[i+1])now++;}if(!flag){printf("-1\n");}else{for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",ans[i]);printf("\n");}H.clear();for(int i=1;i<=mx;i++)t[i].clear();for(int i=1;i<=n;i++)ans[i]=0;return;
}
int main(){freopen("seq.in","r",stdin);freopen("seq.out","w",stdout);int T;scanf("%d",&T);while(T--)work();return 0;
}
B 平衡数列
容易发现若所有的 \(A_i>1\)，则一个平衡数列不超过 \(20\)。因为 \(2^{20}>2\times 20\)，所以一定不行。
这启发我们平衡数列个数很少，记录每个位置 \(i\) 前上一个 \(A_i>1\) 的位置。枚举区间右端点 \(r\)，然后往左跳 \(nxt_l\)，跳的次数一定不超过 \(20\)，时间复杂度为 \(O(n\log n)\)。
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#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+10;
const ll V=5e11;
int n,a[N],pre[N],ans;
ll s[N];
int main(){freopen("bal.in","r",stdin);freopen("bal.out","w",stdout);scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",a+i);s[i]=s[i-1]+a[i];}int x=0;for(int i=1;i<=n;i++){pre[i]=x;if(a[i]>1)x=i;}for(int i=1,l;i<=n;i++){ll prod=1,sum=0;int lst=i;for(int j=i;j&&prod<=V;j=pre[j]){prod*=a[j],sum+=s[lst]-s[j-1],l=pre[j];if(prod-sum>=0&&prod-sum<=j-1-l)ans++;lst=j-1;}}printf("%d\n",ans);return 0;
}
C 间谍部署
设 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 子树内，距离 \(i\) 最近的选择的点距离 \(i\) 为 \(j\)，做一个树上背包状物即可，因为可以子树选空，所以要注意继承的情况。
时间复杂度为 \(O(n)\)。
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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+10;
const int mod=998244353;
int n,mk[N];
vector<int>G[N];
ll f[N][4],ans[4],sum;
void add(int x,int y){G[x].push_back(y);
}
void dfs(int x,int fa){for(auto y:G[x]){if(y==fa)continue;dfs(y,x);for(int i=1;i<=3;i++)ans[i]=f[x][i];for(int i=0,s;i<=3;i++){s=min(3,i+1);ans[s]=(ans[s]+f[y][i])%mod;}for(int i=1,s;i<=3;i++){for(int j=0;j<=3;j++){if(i+j<2)continue;s=min(3,min(i,j+1));ans[s]+=f[x][i]*f[y][j]%mod;ans[s]%=mod;}}for(int i=1;i<=3;i++)f[x][i]=ans[i];}if(mk[x])f[x][0]=f[x][3]+1;return;
}
int main(){freopen("spy.in","r",stdin);freopen("spy.out","w",stdout);scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",mk+i);for(int i=2,f;i<=n;i++){scanf("%d",&f);add(f,i),add(i,f);}dfs(1,0);for(int i=0;i<=3;i++)sum=(sum+f[1][i])%mod;printf("%d\n",sum);return 0;
}
D 小A与字符串
不难发现，字符串的循环节一定是最小循环节的倍数，所以可以求出区间最小循环节。
若 \(p\) 为 \([l,r]\) 的循环节，需要满足 \([l+p,r]=[l,r-p]\)，具体和 KMP 相关。可以预处理字符串 Hash 值，方便 \(O(1)\) 比较。
从小到大试倍数，直到试出第一个循环节为答案，复杂度 \(O(n\sqrt{n})\)，慢。
反过来！若 \(p\) 是循环节，则一定是最小循环节的倍数，考虑逐个剔除其中质因子。
最后预处理每个数因数个数，质因子的东西，时间复杂度为 \(O(n\log n)\)。
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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ull;
const int N=5e5+10;
int n,m,ys[N],mk[N];
char s[N];
vector<int>pr[N];
struct Hash{ull p,pw[N],hs[N];void prework(ull Ciallo,char *s,int n){p=Ciallo,pw[0]=1,hs[0]=0;for(int i=1;i<=n;i++){pw[i]=pw[i-1]*p;hs[i]=hs[i-1]*p+s[i]-'a';}return;}ull qry(int l,int r){return hs[r]-hs[l-1]*pw[r-l+1];}
}T1,T2;
bool check(int l1,int r1,int l2,int r2){if(l1>r1)return 1;if(T1.qry(l1,r1)!=T1.qry(l2,r2))return 0;if(T2.qry(l1,r1)!=T2.qry(l2,r2))return 0;return 1;
}
void init(){T1.prework(131,s,n);T2.prework(13331,s,n);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=i;j<=n;j+=i)ys[j]++;for(int i=2;i<=n;i++){if(mk[i])continue;for(int j=i;j<=n;j+=i){pr[j].push_back(i);mk[j]=1; }}return;
}
int main(){freopen("str.in","r",stdin);freopen("str.out","w",stdout);scanf("%d %d",&n,&m);scanf("%s",s+1);init();for(int i=1,l,r;i<=m;i++){scanf("%d %d",&l,&r);int x=1,y=r-l+1;for(auto v:pr[r-l+1]){while(1){if(y%v!=0)break;if(!check(l,r-y/v,l+y/v,r))break;x*=v,y/=v;}}printf("%d\n",ys[x]);}return 0;
}
)
