《电路基础》第三章学习笔记

《电路基础》第三章学习笔记

任何伟大的事情都不是一蹴而就的，做任何伟大的事情都需要时间、耐心和毅力

I’m back，完成到任务8了，回来继续学习电路！

这一章是本书中最为重要的一章，应给予足够的重视。

主要介绍：1. KCL——节点分析法 2. KVL——网孔分析法

1. 节点分析法

   • 步骤：

     1. 选取一个节点作为参考节点（一般是GND），为其余n-1个节点分配电压 \(v_{1}\)、\(v_{2}\)、···、\(v_{n-1}\)，这些电压均为相对于参考节点的电位
     2. 对 n-1 个非参考节点应用KCL列方程组，根据欧姆定律用节点电压来表示各个支路电流
     3. 求解线性联立方程组从而得到未知的节点电压

   • 通过电阻的电流总是由高电位向低电位流动

     可表示为

     \[i=\frac{v_{higher}-v_{lower}}{R} \]

   • 求解线性方程组

     • 原式：

       \[I_{1}=I_{2}+G_{1}v_{1}+G_{2}(v_{1}-v_{2}) \]
       \[I_{2}+G_{2}(v_{1}-v_{2})=G_{3}v_{3} \]

     • 矩阵：

       \[\begin{bmatrix}G_{1}+G_{2}& -G_{2}\\-G_{2}&G_{2}+G_{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{1} \\v_{2}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} I_{1}-I_{2} \\I_{2}\end{bmatrix} \]

       运用矩阵求逆，左式中带G的逆乘到右式的右边，

       即可得到 \(v_{1}\) 和 \(v_{2}\) 的表达式。

       （其实还可以用克拉默法则等众多方法求解，不过我只会求逆，就不展开其他方法了qwq）

2. 包括电压源的节点分析法

   • 如果电压源接在参考节点与非参考节点之间，那么非参考节点的电压就等于电压源的电压。（可以简化电路的分析）

   • 如果电压源接在两个非参考节点之间，则这两个非参考节点构成一个广义节点（超节点）。此时可以采用KCL和KVL确定节点电压。

   • 超节点：由两个非参考节点和其间的电压源（独立源或受控源）以及与之并联的元件所组成。

     • 超节点的属性：
       • 超节点内的电压源提供了一个求解节点电压所需的约束方程。
       • 超节点本身没有电压
       • 包含超节点电路的求解要求同时利用KCL和KVL

3. 网孔分析法

   • 特点：以网孔电流而不是元件电流作为电流变量，分析起来很方便，而且可以减少联立方程的个数。
   • 网孔：内部不包含任何其他回路的一条回路。
   • 步骤：
     • 为n个网孔分别指定网孔电流 \(i_{1}\),\(i_{2}\),···，\(i_{n}\)
     • 对n个网孔分别应用KVL，并根据欧姆定律用网孔电流来表示各个电压。
     • 求解n个联立方程，得到网孔电流。
     • 应用、计算等和上面基本一样，就不赘述了。

4. 包括电流源的网孔分析法

   由于电流源的存在，减少了方程的个数，求解反而会更容易一点。

   • 电流源仅存在于一个网孔中，设\(i_{2}=-5A\)，并对另一个网孔按照通常方法写出网孔方程为：

     \[-10+4i_{1}+6(i_{1}-i_{2})=0 \]

     

   • 电流源存在于两个网孔之间，如图，将电流源与之相串联的元件去除后，得到一个超网孔。

     

     当两个网孔共有一个电流源（独立源或受控源）时，就产生一个超网孔。

   • 超网孔的属性：

     • 超网孔中的电流源提供了求解网孔电源所需的约束方程
     • 超网孔本身没有电流
     • 对超网孔要同时应用KVL和KCL

5. 基于观察法的节点分析与网孔分析（重要）

   • 一般而言，如果包含独立电流源的一个电路中具有N个非参考节点，则节点电压方程可以用电导表示为如下形式：

     \[\begin{bmatrix} G_{11} & G_{12} & \dots & G_{1N}\\G_{21} & G_{22} & \dots & G_{2N}\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\G_{N1} & G_{N2} & \dots &G_{NN} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\ \vdots \\v_{N} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}i_{1}\\i_{2}\\ \vdots \\i_{N} \end{bmatrix} \]

     其中：

     • \(G_{kk}\)=与节点 k 相连接的各电导之和。
     • \(G_{kj}\)=\(G_{jk}\)=直接与节点 k , j 相连接的电导之和的相反数，其中 k≠j。
     • \(v_{k}\)=节点 k 处的未知电压

6. 节点分析法与网孔分析法的比较

   • 区分
     • 包含大量串联元件、电压源或超网孔的，节点数多于网孔数电路网络更适合采用网孔分析法。
     • 包含较多并联元件、电流源或超节点的，节点数少于网孔数的电路网络，则适合节点分析法。
   • 妙处
     • 可以用一种方法来验证另一种方法得到的结果正确与否