CF Round 942(#1967) 总结

news/2025/9/29 8:43:13/文章来源:https://www.cnblogs.com/dccy/p/19118071

CF Round 942(#1967) 总结

A

$cnt$ 为 $\min\{a\}$ 的个数，则答案为 $cnt\times \min\{a\}+(n-cnt)\times (\min \{a\}+1)$。

于是把 $K$ 尽量往小的补齐即可。

B1

存在整数 $p$ 使得 $a+b=p\times b\times \gcd(a,b)$。移项得 $\frac ab+1=p\times \gcd(a,b)$。

则 $a$ 是 $b$ 的倍数，调和级数枚举再 $O(\log n)$ check 即可，复杂度 $O(n\log ^2n)$。

B2

令 $d=\gcd(a,b),a=a'd,b=b'd$。将原来的条件两边除以 $d$，得到 $(a'+b')|(b'd)$，且要满足 $\gcd(a',b')=1$。

有欧几里得定理，$\gcd(a'+b',b')=\gcd(a',b')=1$，再由 $(a'+b')|(b'd)$ 所以只能是 $(a'+b')|d$。

那么 $a'\le d=\frac a a'\le \frac na'$，所以 $a'^2\le n$。同样地，$b'^2\le m$。

那么枚举 $a',b'$ 计算 $(a'+b')$ 在范围内倍数的个数即可。复杂度 $O(\sqrt {nm})$。

C

可以把每个点 $a(0)$ 对其祖先 $a(k)$ 的贡献拆开来，那么一个点对它的 $dep$ 级祖先（从 $1$ 开始）的 $a(k)$ 贡献 $a(0)\times \binom {dep+K-1}{K-1}$。

由于叶子始终是 $a(0)$ 那么自底向上求出每个点的 $a(0)$ 即可。由于树高是 $O(\log n)$ 的，所以组合数可以暴力求，更新也可以暴力更新。

复杂度 $O(n\log ^2n)$。

D

每个位置的修改都是独立的，我们只要使每个位置修改次数的最大值最小，考虑二分答案。然后贪心地，从前往后依次使每个 $a$ 取到 $mid$ 步内能取到的最小值，且要使 $a_i\ge a_{i-1}$。

一种想法是求出 $mid$ 步路径上的最小值，复杂度是两个 $\log $，难写且过不了。

考虑到 $a_i$ 是不下降的，我们维护一个头指针 $x$，每次把 $x$ 往右移，check $(x,i)$ 是否 $\le mid$ 即可。

要 check 是否在同一个基环树中并且树上是否是祖孙关系，$O(m\log m)$ 预处理 LCA 即可。环上距离和书上距离都是容易的。

总复杂度 $O((n+m)\log m)$。

E1 & E2

假如当前走到 $b_i=at$，那么当 $a_{i+1}=at+1$ 时，$b_{i+1}=at-1$；否则 $b_{i+1}=at+1$ 一定更优。所以每次往上走有 $m-1$ 的系数，往下走有 $1$ 的系数。走到 $m$ 或 $-1$ 以后就不用走了。直接 DP 可以做到 $O(nm)$。

考虑计算不合法的方案数，如果我们第一次走到了 $(i,-1)$，那么后面可以乱填 $m^{n-i}$ 种，这其实等价于后面继续走，依然是往上走 $m-1$ 系数，往下走 $1$ 系数，求和后依然是 $m^{n-i}$ 种。所以枚举最后走到 $(n,p)$ 计算走到过 $y=-1$ 时的方案数。

当 $p\le -1$ 时，一定会经过 $y=-1$。
当 $p>-1$ 时，利用类似格路计数的，反射一次转化为 $p\le -1$ 的情况。

反射容斥。记 $X$ 为碰到上边界，$Y$ 为碰到下边界，$f(S)$ 表示计算 $S$ 作为实际状态的子序列时的方案数，要计算 $f(Y)-f(XY)+f(YXY)-f(XYXY)+\cdots$。计算一个点的方案数时，记向上走了 $k$ 次，贡献为 $(m-1)^k\binom nk$。

发现反射后的各点其实是 $p,-p+2m,p-2m-2,-p+4m+2,\dots$。奇数项是 $p$ 开头、公差 $-2m-2$ 的等差数列，偶数项是 $-p+2m$ 开头、公差 $2m+2$ 的等差数列。代入到贡献里就是（以奇数项为例）：

\[\sum _{k\ge 0} (m-1)^{(n+p-b)/2}\binom {n} {\frac {n+p-b+k(-2m-2)}2} \]

注意这里系数恒为 $(m-1)^{(n+p-b)/2}$，因为我们实际上还是走到 $(n,p)$。我们可以维护 $\sum c_i\binom{n}i$ 的系数 $c_i$，上述贡献就是在 $c$ 上每 $m+1$ 间隔加上系数。用类似差分的方式处理，最后扫一遍 $c$ 即可。复杂度 $O(n+m)$。