一些积分的题解

这是给团队 Andy AK IOI 中的微积分训练题的题解合集。
传送门：Andy AK 微积分训练题。

T669506 训练题（数学1）

\[\begin{aligned} \mathrm{I}&=\int_0^\frac\pi2\ln\sin x\,dx\\ &=\frac12\int_0^\frac\pi2\ln\sin x+\ln\cos x\,dx\\ &=\frac12\int_0^\frac\pi2\ln\sin 2t\,dx \end{aligned} \]

然后使用换元法便秒掉了这道题。

T669552 训练题（数学2）

\[\mathrm{I}=\int_0^\infty \frac{\sin x}x\,dx \]

这是一个经典的反常积分，我们考虑使用广义积分法

\[\begin{aligned} \mathrm{I}(t)&=\int_0^\infty e^{-tx}\frac{\sin x}x\,dx\\ \mathrm{I}'&=\int_0^\infty\frac\partial{\partial t}e^{-tx}\frac{\sin x}x\,dx\\ &=-\int_0^\infty e^{-tx}\sin x\,dx\\ \end{aligned} \]

这是一个初等积分，使用初等积分法后重新积回去即可，接下来讨论该积分关于莱布尼茨公式的合理性。
注意到如下不等式：

\[0\le |\mathrm{I}(t)| \le \int_0^\infty e^{-tx}\left|\frac{\sin x}x\right|\,dx\le\int_0^\infty e^{-tx}\,dx=\frac1t \]

于是

\[\lim_{t\to\infty}\mathrm{I}(t)=0 \]

于是该积分能交换积分次序，隧原方法成立。

T669555 训练题（数学3）

已知

\[\Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}\,dt \]

并且，根据该积分，我们能得到如下性质：

• \(\Gamma(s)=(s-1)\Gamma(s-1)\)
• \(\Gamma(s)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^s}{s(s+1)\cdots(s+n)}\)
• \(\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac\pi{\sin s\pi}\)

现在，你要求解 \(\Gamma''(1)\) 的具体数值，保留 \(12\) 位小数即可。

这是一个重要的积分，要求 \(\Gamma''(1)\) 的值，这里要用到对数微分。

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\ln\Gamma(s)=\frac{\Gamma'(s)}{\Gamma(s)}=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{s+n}\right)-\gamma \]

由于 \(\ln\) 函数有把连乘拆成连加的美好性质，所以这里使用对数微分是一个非常便捷的方法。
进一步微分，得：

\[\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}s^2}\ln\Gamma(s)=\frac{\Gamma''(s)\Gamma(s)-\Gamma'^2(s)}{\Gamma^2(s)}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(s+n)^2} \]

把 \(s=1\) 带入，即可得到答案。
bro 应该不会不知道巴塞尔问题如何求解吧，对吧？对吧！

T670827 训练题（数学4）

日常真的很好看，小城日常相比之下逊色了一些。

\[\begin{aligned} \mathrm{Nano}&=\int_0^1\left \{ \frac{1}{1-x} \right \}\,dx\\ &=\lim_{n\to\infty}\int_{\frac1n}^1\frac{1}{x}-\left\lfloor\frac1x\right\rfloor\,dx\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(\ln1-\ln\frac1n-\int_{\frac1n}^1\sum_i\left\lfloor\frac1x\right\rfloor\ge i\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(\ln\frac1n-\mathrm{H}(n)+1\right)\\ &=1-\gamma \end{aligned} \]

最简单的一道题。

T671620 训练题（数学5）

\[\mathrm{Nano}=\prod_{n=1}^\infty\frac{\sqrt[n]e}{1+n^{-1}} \]

作为简单版，就用特解来解这道题。

\[\begin{aligned} \mathrm{Nano}&=\prod_{n=1}^\infty e^\frac1n\frac{n}{n+1}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{e^{\mathrm{H}(n)}}n\\ &=e^\gamma \end{aligned} \]

T671869 训练题（数学5+）加强版

作为加强版，这题仍然可以用特解来解，要用到沃利茨公式，在此不再赘述。
考虑讲 \(\Gamma\) 函数和 \(e^{\gamma x}\) 写成连乘的形式，如：

\[\begin{aligned} \Gamma(1+s)&=\prod_{n=1}^\infty\frac{\left(1+\frac 1n\right)^s}{1+\frac sn}\\ e^{\gamma s}&=\prod_{n=1}^\infty\frac{e^{\frac sn}}{\left(1+\frac 1n\right)^s} \end{aligned} \]

将两式相乘，得：

\[e^{\gamma s}\Gamma(1+s)=\prod_{n=1}^\infty\frac{e^{\frac sn}}{1+\frac sn} \]

第一题将 \(s=1\) 代入即可，加强版将 \(s=-\frac12\) 代入即可。