洛谷P10112 [GESP202312 八级] 奖品分配

news/2025/9/28 16:30:25/文章来源:https://www.cnblogs.com/kibrel/p/19117049

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原题

题目描述

班上有 $N$ 名同学，学号从 $0$ 到 $N-1$。有 $M$ 种奖品要分给这些同学，其中，第 $i$ 种奖品总共有 $a_i$ 个（$i=0,1, \cdots ,M-1$）。

巧合的是，奖品的数量不多不少，每位同学都可以恰好分到一个奖品，且最后剩余的奖品不超过 $1$ 个（即：$N\le a_0+a_1+ \cdots +a_{M-1}\le N+1$）。

现在，请你求出每个班级礼物分配的方案数，所谓方案，指的是为每位同学都分配一个种类的奖品。

只要有一位同学获得了不同种类的奖品，即视为不同的方案。方便起见，你只需要输出方案数对 $10^{9}+7$ 取模后的结果即可。

共有 $T$ 个班级都面临着奖品分配的问题，你需要依次为他们解答。

输入格式

第一行一个整数 $T$，表示班级数量。

接下来 $T$ 行，每行若干用单个空格隔开的正整数。首先是两个正整数$N,M$，接着是 $M$ 个正整数 $a_0,a_1...a_{M-1}$。保证 $N \le a_0+a_1+\cdots+a_{M-1} \le N+1 $。

输出格式

输出 $T$ 行，每行一个整数，表示该班级分配奖品的方案数对 $10^{9}+7$ 取模的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

3
4
20

输入输出样例 #2

输入 #2

5
100 1 100
100 1 101
20 2 12 8
123 4 80 20 21 3
999 5 101 234 499 66 99

输出 #2

说明/提示

样例解释 1

对于第 $1$ 个班级，学号为 $0,1,2$ 的同学可以依次分别获得奖品 $0,1,1$，也可以依次分别获得奖品 $1,0,1$，也可以依次分别获得奖品 $1,1,0$ ，因此共有 $3$ 种方案。

对于第 $2$ 个班级，学号为 $0,1,2$ 的同学可以依次分别获得奖品 $0,1,1$ ，也可以依次分别获得奖品 $1,0,1$，也可以依次分别获得奖品 $1,1,0$，也可以依次分别获得奖品 $1,1,1$，因此共有 $4$ 种方案。

对于第 $3$ 个班级，可以把编号为 $0$ 的奖品分配给 $5$ 名同学中的任意一名，共有 $5$ 种方案；再把编号为 $2$ 的奖品分配给剩余 $4$ 名同学中的任意一名，共有$4$ 种方案；最后给剩余 $3$ 名同学自然获得 $1$ 号奖品。因此，方案数为 $5 \times 4 = 20$。

数据范围

对于 $30\%$ 的测试点，保证 $N \le 10$。

对于另外 $30\%$ 的测试点，保证 $M=2$。

对于所有测试点，保证 $N \le 1000$；保证 $T \le 1000$ ；保证 $M \le 1001$。

整理&思路

因为每个人只要一个奖品，所以我们按奖品分类。
假设我们一共有$sum$个奖品，针对第$i$种奖品，我们需要有$a_{i}$个小朋友来拿走奖品，而根据组合数可得：

\[f(i) = C\binom{a_{i}}{sum} \]

而所有的奖品的总组合数就是：

\[ans = \prod_{i=1}^{m} C\binom{a_{i}}{sum} \]

当然，此时的$sum$是不断改变的，每取一次$sum$就要减少一次$a_{i}$。

然而，常规的组合数肯定是会崩的，这时候就要请出杨辉三角了：

\[C\binom ij = C\binom {i-1}j + C\binom i{j-1} \]

当然，$j\leq i$且$j=1时C \binom ij=1$。

当然，你还需要做这样的一个处理：

sum = n + (sum>n);

以确保分配的时候有一个或零个剩余。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;const int maxn = 1010;
const int mod = 1e9 + 7;int a[maxn], C[maxn][maxn];//杨辉三角
void init() {for (int i = 0; i < maxn; i++) {for (int j = 0; j <= i; j++) {if (j == 0 || j == i) C[i][j] = 1;else C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % mod;}}
}
signed main() {init();int T;scanf("%lld", &T);while(T--) {int n, m;scanf("%lld%lld", &n, &m);int sum = 0;for (int i = 1; i <= m; i++) {scanf("%d", &a[i]);sum += a[i];}sum=n+(sum>n);int ans = 1;for (int i = 1; i <= m; i++) {ans = (ans * C[sum][a[i]]) % mod; // 分配礼物的组合方法sum -= a[i]; // 分配一次礼物就减少一次}printf("%lld\n", ans);}return 0;
}