CF1542

CF1542E2 Abnormal Permutation Pairs

既然要求了字典序，那么我们可以枚举两个排列的最长公共前缀长度 \(L\) 并钦定 \(p_{L+1}<q_{L+1}\)，此时 \(L+1\) 之后的位置就可以随意选了，所以我们再 DP 只需要考虑逆序对的限制。设 \(cnt_1\) 为排列 \(p\) 的逆序对数量，\(cnt2\) 为排列 \(q\) 的逆序对数量，由于 DP 状态不能同时表示 \(cnt1,cnt2\) ，考虑令 \(f_{i,j}\) 表示确认了 \(i\) 位、\(cnt1-cnt2=j\) 的方案数。

显然有转移式

\[\begin{align} f_{i,j}&=\sum_{p1=1}^i\sum_{p2=1}^i f_{i-1,j-p1+p2}\\ \end{align} \]

显然是可以将式子拆成每个值乘上贡献次数之和的形式的，转移只需维护 \(\sum f_{i,j},\sum f_{i,j}\times j\) 的前缀和。求出每个值后枚举 \(L,p_{L+1},q_{L+1}\) 再求和即可

CF1542D Priority Queue

考虑求每个数 \(a_i\) 会在多少个方案中被统计到，因为数据范围很小，所以我们每个数都可以 \(O(n^2)\) 算方案数。设状态 \(f_{i,j}\) 表示考虑到第 \(i\) 位、有 \(j\) 个数比当前数小的方案数。根据状态进行一个分讨，每个元素都考虑它保留或被删除的转移即可。复杂度 \(O(n^3)\)

CF1542C Strange Function

考虑若 \(f(n)=i\)，那么有 \(lcm(1,2,...,i-1)\mid n,lcm(1,2,...,i)\nmid n\)。由于 \(lcm\) 呈指数级增加，所以我们可以枚举前缀的 \(lcm\) 。那么在 \(n\) 范围内，\(i\) 的贡献次数即为 \(\lfloor\frac{n}{lcm_{i-1}}\rfloor-\lfloor\frac{n}{lcm_{i}}\rfloor\)。

后两题简单题，咕咕咕