质数（埃氏筛、欧拉筛）

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质数

一、质数：数字的原子

• 原子是构成物质的基本单位

• 质数是构建整数的基本单元

示例：
60 = 2 × 2 × 3 × 5（仅由质数构成）
所有大于1的自然数都可分解为质数的乘积

类比说明：

质数如同数学界的乐高积木，通过组合可构建任意整数

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二、质数：现代密码的基石（RSA加密）

• 保护移动支付、即时通讯、数据传输的核心技术

• RSA加密原理：

  基于大质数乘积的数学特性：正向计算易，逆向分解难

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三、质数的分布特性

前20个质数序列：
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71...

分布规律：

1. 密度递减：数字越大，质数出现频率越低

2. 间距不规则：存在紧密对（如11-13）和巨大间隔（如113-127）

研究思考题：

为何质数分布不遵循简单规律？
能否建立有效的质数预测模型？（尚未解决）

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RSA加密算法详解

一、核心机制

通过三个关键步骤实现信息安全：

步骤	操作	数学基础
密钥生成	选择两个超大质数p,q	质数无限性
加密过程	计算n=p×q及公钥	大数分解困难
解密过程	使用私钥还原信息	欧拉函数特性

安全核心：

当 n 超过 300 位时，暴力分解需数亿年计算时间

一、RSA 算法原理详解

1. 密钥生成步骤

第一步：选择两个不同的大质数

p = 61
q = 53

第二步：计算模数n和欧拉函数值φ(n)

n = p × q = 61 × 53 = 3233
φ(n) = (p-1)×(q-1) = 60 × 52 = 3120

• n作为公钥的一部分公开
• φ(n)用于后续密钥计算

第三步：选择公钥指数e

e = 17  (需满足1 < e < φ(n)且gcd(e, φ(n))=1)

第四步：计算私钥指数d

d ≡ e⁻¹ mod φ(n)
通过扩展欧几里得算法求得d = 2753
∵ 17 × 2753 = 46801 ≡ 1 mod 3120

2. 加密解密过程演示

加密消息m=65

c = m^e mod n = 65¹⁷ mod 3233 = 2790

解密过程

m = c^d mod n = 2790²⁷⁵³ mod 3233 = 65

二、质数判定算法

1. 试除法（朴素方法）

算法原理：

• 质数定义：大于1的自然数，除了1和它本身外没有其他约数

• 优化：只需检查2到√n之间的整数

C++实现：

bool isPrime(int n) {if (n <= 1) return false;for (int i = 2; i * i <= n; ++i)if (n % i == 0)return false;return true;
}

时间复杂度分析：

• 单个数：O(√n)

• 前N个数：O(N√N)

2. 埃拉托斯特尼筛法

算法步骤：

1. 初始化布尔数组标记所有数为质数

2. 从2开始，标记其倍数为合数

3. 重复直到√n

C++实现：

void sieveOfEratosthenes(int n) {vector<bool> is_prime(n+1, true);is_prime[0] = is_prime[1] = false;for (int i = 2; i * i <= n; ++i) {if (is_prime[i]) {for (int j = i * i; j <= n; j += i)is_prime[j] = false;}}
}

时间复杂度：
O(n log log n)

3. 欧拉线性筛法

算法优势：

• 每个合数只被标记一次

• 可记录最小质因子

C++实现：

void linearSieve(int n) {vector<int> primes;vector<bool> is_prime(n+1, true);for (int i = 2; i <= n; ++i) {if (is_prime[i]) {primes.push_back(i);}for (int p : primes) {if (i * p > n) break;is_prime[i * p] = false;if (i % p == 0) break;}}
}

时间复杂度：
O(n)

教学流程

步骤	内容	形式
1	朴素枚举法	手动判断10以内质数
2	埃氏筛图解	小圆点图示（划掉倍数）
3	编写埃氏筛代码	强调 j=i*i 优化
4	时间复杂度分析	提问：哪些数字被重复处理？
5	线性筛原理	"最小质因子唯一性"示例
6	效率对比	10万级质数生成速度实测