E、小苯的数字变换
题意：
小苯在研究一种特殊的数字变换。对于一个正整数 \(x\)，定义一个数字的“根”为不断将其各位数字相加直到得到个位数。例如：
\[\text{根}(38) = 3 + 8 = 11 \rightarrow 1 + 1 = 2
\]
\[\text{根}(999) = 9 + 9 + 9 = 27 \rightarrow 2 + 7 = 9
\]
现在给定一个数字串 \(x\)，请你求出：所有 \(x\) 的连续子区间代表的十进制数字（去掉前导 0 后）的 “根” 之和。
思路：
考虑\(dp\)
\(dp[i][j]\)表示以第\(i\)个数字结尾,“根”的和为\(j\)的子序列个数
具体细节见代码
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ce cerr
#define ull unsigned long long
#define lll __int128
#define PII pair<int, int>
#define PLL pair<long ,long>using namespace std;const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll iinf = 1e18;//cin.ignore(std::numeric_limits< streamsize >::max(), '\n');
int t;void solve() {string s;cin >> s;int n = s.size ();s= ' ' + s;vector<ll> a (n + 1);vector<vector<ll> > dp (n + 1, vector<ll> (10, 0));for (int i = 1; i <= n; ++i) {a[i] = (int) s[i] - '0';}// dp[i][j] : 第i个数字结尾，“根”之和为j的连续子区间的个数for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int j = 0; j <= 9; ++j) {int num = s[i] - '0';int temp = num + j;if (temp >= 10) temp -= 9;dp[i][temp] += dp[i - 1][j];}dp[i][a[i]] ++;}ll res = 0;for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int j = 0; j <= 9; ++j) {res += dp[i][j] * j;}}cout << res << "\n";
}
int main() {ios::sync_with_stdio (false);cin.tie(NULL);cout.tie(NULL);t = 1;cin >> t;while (t --) {solve();}return 0;
}
F、小苯的序列合并
题意：
给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，你可以对 \(a\) 做如下操作任意次：
- 选择一个下标 \(i \ (1 \leq i < |a|)\)，将 \(a_i\) 与 \(a_{i+1}\) 合并起来，结果为 \(a_i \oplus a_{i+1}\)。（其中 \(\oplus\) 表示按位异或运算符，\(|a|\) 表示 \(a\) 当前的长度。）
所有操作结束后，小苯希望你最大化最终 \(a\) 中所有数字的按位与，即 AND（&）值，请你算一下这个最大值是多少吧。
思路：
关键点:最优解最多只会划分成两段（进行&的段数\(\leq 2\)）
对于三个数字一定有：\(x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 >= x_1 \& x_2 \& x_3\)(这里异或顺序不定)
所以，对于大于等于三段的分段方法，一定能够通过相邻三个数字之间不断异或，得到最终一个或者两个数字进行与运算
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ce cerr
#define ull unsigned long long
#define lll __int128
#define PII pair<int, int>
#define PLL pair<long ,long>using namespace std;const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll iinf = 1e18;//cin.ignore(std::numeric_limits< streamsize >::max(), '\n');
int t;void solve() {int n;cin >> n;vector<ll> a (n + 1);vector<ll> b (n + 1);for (int i = 1; i <= n; ++i) {cin >> a[i];b[i] = b[i - 1] ^ a[i];}ll res = b[n];for (int i = 0; i <= n; ++i) {//ce << b[i] <<" " << (b[n] ^ b[i]) << "\n";res = max (res, b[i] & (b[n] ^ b[i]));}cout << res << "\n";
}
int main() {ios::sync_with_stdio (false);cin.tie(NULL);cout.tie(NULL);t = 1;cin >> t;while (t --) {solve();}return 0;
}
