三门问题：
三门问题是一个经典的概率问题，也被称为蒙提霍尔问题，最初由美国数学家蒙提霍尔提出。这个问题涉及到概率、逻辑和心理学等多个领域，引发了大量的争论和讨论。
下面是问题的描述。
假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”
问题：此时选择更换得到车的可能性更大吗？
答案：是的。
解法一：
1、车在1号门后的概率是1/3;在2号门+3号门后的概率是2/3;
2、当你选择了1号门，不更改，那么概率还是1/3;
3、2号和3号是一个整体，当主持人帮你过滤掉了一个门后，剩下的那个门的概率是2/3；
解法二：
1、如果不换，那么第一次必须选中有车的门，概率是1/3；
2、如果换，那么第一次必须选中有羊的门，概率是2/3;
所以，换的概率更高。
解法三：
假设三个门的后面，分别是1号门：车； 2号门：羊； 3号门：羊。
| 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|
| 车 | 羊 | 羊 |
我们来看一下用户选择不更换的情况。
| 用户最初选择 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 用户最终结果 | 车 | 羊 | 羊 |
所以当用户不更改时，最终选到车的概率是1/3；
我们再看看用户选择更换时的情况：
| 用户最初选择 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 用户最终结果 | 羊 | 车 | 车 |
这里简单解释一下：
1）用户最初选择1号门时，用户无论选择更换为2还是3，最终的结果是：羊；
2）用户最初选择2号门时，主持人会把3号门的羊展示给用户看，所以用户会更换为1,最终结果是：车；
3）用户选择3号门时，主持人会把2号门的羊展示给用户看，所以用户会更换为1，最终结果是：车；
所以，当用户选择更换时，选到车的概率是2/3;
新的问题一：如果有4个门呢？
4个门后分别为：车羊羊羊
用户不更换的情况：
| 用户最初选择 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 用户最终结果 | 车 | 羊 | 羊 | 羊 |
选到车的概率是1/4；
用户更换的情况：
| 用户最初选择 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 用户结果 | 羊 | 1/2 车 | 1/2车 | 1/2车 |
选到车的概率是：(1/2 * 3 )/4 =3/8
3/8大于1/4;
新的问题二：
如果有n个门，那么不更换的概率为：1/n;
更换的概率为：（n-1）/(n(n-2))
更换的概率要比不更换的概率多：1/(n(n-2))；
新的问题三：
如果有n个门，其中有m（m<n-1）个车呢？
来分解一下，4个门，两个车；4个门的背后分别是：车车羊羊
不更改选择时：
| 用户最初选择 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 用户最终结果 | 车 | 车 | 羊 | 羊 |
概率是m/n = 1/2;
更改了选择时：
| 用户最初选择 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 用户最终结果 | 1/2车 | 1/2车 | 车 | 车 |
概率是：3/4
可以推测：
当不更改选择时，选到车的概率是：m/n
当更改选择时，选到车的概率是：
1）先选的是车，结果也是车的情况：m（m-1）/(n-2)
2）先选的是羊，结果是车的情况：（n-m）m/(n-2)
(m（m-1）/(n-2) + （n-m）m/(n-2) )/n= m(n-1)/n(n-2)
代入n=4，m=2的情况验证。
21/2 = 1,22/2=2, 合计为3个；验证完毕。
拿n=5，m=3来验算：
不更改选择
| 用户最初选择 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 用户结果 | 车 | 车 | 车 | 羊 | 羊 |
概率为3/5
更改选择
| 用户最初选择 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 用户结果 | 2/3车 | 2/3车 | 2/3车 | 1车 | 1车 |
概率为：(3*2/3+2 )/ 5 = 4/5;
代入n=5，m=3的情况验证。
m（m-1）/(n-2) = 32/3=2
（n-m）m/(n-2)=23/3=2;
2+2=4;验算完毕；
所以，当有n个门，m（m<n-1）个车时，
不更换选到车的概率是：m/n;
更换后选到车的概率是：m/n * (n-1)/(n-2)
结论：
这种问题，更改选择会比不更改选择，有更大的概率获取到车。
原因是：主持人帮你排除了一只羊。
2025年9月22日
