我们的日常生活中，经常会遇到一些需要解决的小问题，这些问题可能并不需要复杂的算法，但是如果我们能够运用穷举算法的思想，就能够轻松地找到问题的答案。本文将介绍穷举算法的基本思想，并通过程序示例来深入了解它的实现过程。
一、穷举算法基本思想
穷举算法，顾名思义，就是通过列举所有可能的情况来寻找问题的解决方案。它的核心思想是将问题的所有可能解逐一列举出来，然后逐一判断，找出满足条件的解。
二、穷举算法应用场景
穷举算法适用于问题的解空间是有限的，且问题的规模较小的情况；对于某些问题，穷举法是唯一可行的解决方法。
三、穷举算法应用示例
鸡兔同笼问题是中国古代著名趣题之一。该问题记载于1500年前的《孙子算经》中：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
为了解决这个问题，我们可以使用代数方法。假设鸡的数量为 chickens，兔子的数量为 rabbits。我们有以下两个方程：
chickens + rabbits = 头数
2 * chickens + 4 * rabbits = 脚数
穷举每一个可能的 chickens（0~头数），通过 chickens 计算出 rabbits （头数-chickens），逐个判断 chickens 和 rabbits 的组合是否符合题目的其它条件（2 * chickens + 4 * rabbits = 脚数），从而得到题目的解。以下为代码示例：
include <stdio.h>
void jttl(int heads, int foots, int *rabbits, int *chickens) {
for (int i = 0; i <= heads; i++) {
int j = heads - i;
if (2 * i + 4 * j == foots) {
*rabbits = i;
*chickens = j;
return;
}
}
}
int main() {
int heads, foots, rabbits, chickens;
printf("鸡兔同笼问题\n");
printf("请输入头数：");
scanf("%d", &heads);
printf("请输入脚数：");
scanf("%d", &foots);
jttl(heads, foots, &rabbits, &chickens);
printf("%d只鸡，%d只兔", rabbits, chickens);
return 0;
}
示例输入输出：
鸡兔同笼问题
请输入头数：20
请输入脚数：56
12只鸡，8只兔
AI写代码
百鸡百钱问题，也是出自《孙子算经》一书：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？
仍然使用代数方法，假设公鸡、母鸡、小鸡的数量分别为 x, y, z，得出以下三元一次方程组：
x + y + z = 100（只）
5x + 3y + z/3 = 100（钱）
可以限定穷举的范围：x 在 0~20 之间，y 在 0~33 之间，z 在 0~99 之间。可以使用两个循环来穷举 x 和 y，然后计算出 z（总数 - x - y），逐个判断 x, y 和 z 的组合是否符合方程组中的其它方程，从而得到题目的解。以下为代码示例：
include<stdio.h>
int main() {
int x, y, z;
for (x = 0; x <= 20; x++) {
for (y = 0; y <= 33; y++) {
z = 100 - x - y;
if (z % 3 == 0 && 5 * x + 3 * y + z / 3 == 100) {
printf("鸡翁：%d，鸡母：%d，鸡雏：%d\n", x, y, z);
}
}
}
return 0;
}
一共有四组解：
鸡翁: 0, 鸡母: 25, 鸡雏: 75
鸡翁: 4, 鸡母: 18, 鸡雏: 78
鸡翁: 8, 鸡母: 11, 鸡雏: 81
鸡翁: 12, 鸡母: 4, 鸡雏: 84
换零钱问题，将一笔零钱换成5分、2分和1分的硬币，要求每种硬币至少有一枚，并且按5分、2分和1分硬币的数量依次从大到小的顺序，有几种不同的换法？
根据题目要求，先计算出5分和2分硬币能换的最多数量，然后从这个数量开始进行枚举，优先枚举大面值的硬币，以下为代码示例：
include <stdio.h>
int main() {
int amount; // 总额
printf("请输入零钱总额：");
scanf("%d", &amount);
int max_coin5 = amount / 5; // 最多能换多少个5分硬币
int max_coin2 = amount / 2; // 最多能换多少个2分硬币
int count = 0; // 记录不同的换法数量
// 穷举法枚举所有可能的换法
for (int i = max_coin5; i >= 1; i--) {
for (int j = max_coin2; j >= 1; j--) {
for (int k = amount - 5 * i - 2 * j; k >= 1; k--) {
if (i * 5 + j * 2 + k == amount) { // 硬币面值等于金额
printf("5分:%d, 2分:%d, 1分:%d, 硬币数:%d\n", i, j, k, i+j+k);
count++;
}
}
}
}
printf("一共有%d种换法\n", count);
return 0;
}
示例输入输出：
请输入零钱总额：13
5分:2, 2分:1, 1分:1, 硬币数:4
5分:1, 2分:3, 1分:2, 硬币数:6
5分:1, 2分:2, 1分:4, 硬币数:7
5分:1, 2分:1, 1分:6, 硬币数:8
一共有4种换法
四、总结
穷举算法是一种简单直接的解决问题的方法，适用于小规模问题。随着问题规模的增大，计算量也会增长，导致效率降低（如穷举法破解密码）。因此，在实际应用中，需要根据问题的具体特点选择合适的算法。
